辛馬斯特猜想

辛馬斯特猜想'（Singmaster's conjecture）是組合數論中的一個猜想，以1971年提出此猜想的英國數學家大衛·辛馬斯特（David Singmaster）命名。該猜想指出，在帕斯卡三角形中，任何一個數（數字1除外，它會出現無限多次）的出現次數存在一個有限的上界。顯然，帕斯卡三角形中唯一出現無限多次的數是1，因為任何其他的數 x 最多只會出現在三角形的前 x+1 行中。

猜想陳述

設 N(a) 為數字 a > 1 在帕斯卡三角形中出現的次數。用大O符號表示，此猜想為：

已知的界

辛馬斯特 (1971) 證明了

Abbott、Erdős 和 Hanson (1974)（見參考資料）將此估計改進為：

<math>N(a) = O\left(\frac{\log a}{\log \log a}\right).</math>

目前已知最佳的（無條件）界是

<math>N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right),</math>

由 Kane (2007) 提出。Abbott、Erdős 和 Hanson 指出，在關於連續質數間隙的克拉默猜想成立的條件下，

<math> N(a) = O\left( (\log a)^{2/3+\varepsilon}\right) </math>

對於每一個 <math>\varepsilon > 0 </math> 均成立。

辛馬斯特 (1975) 證明了丟番圖方程式

<math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2}</math>

對於兩個變數 n, k 有無限多組解。由此可知，有無窮多個數在三角形中出現至少6次：對於任何非負整數 i，一個在帕斯卡三角形中出現六次的數 a 可由上述兩個表達式給出，其中

此處 Fj 是第 j 個斐波那契數（根據 F0=0 和 F1=1 的慣例索引）。上述兩個表達式定位了其中兩次出現；另外兩次以對稱方式出現；剩下兩次則為 <math>{a \choose 1}</math> 和 <math>{a \choose a-1}。</math>

基本範例

2 只出現一次；所有更大的正整數出現超過一次；
3、4、5 各出現兩次；有無限多個數恰好出現兩次；
所有奇質數出現兩次；
6 出現三次，除了1和2之外的所有中央二項式係數也都出現三次；（原則上不排除這樣的係數會出現五次、七次或更多次，但目前尚未發現任何例子）
所有形如 <math>{p \choose 2}</math> （其中 <math>p>3</math> 為質數）的數都出現四次；
有無限多個數恰好出現六次，包括以下每個數：

<math>120 = {120 \choose 1} ={120 \choose 119} = {16 \choose 2} ={16 \choose 14} = {10 \choose 3} ={10 \choose 7}</math>

<math>210 = {210 \choose 1} ={210 \choose 209} = {21 \choose 2} ={21 \choose 19} = {10 \choose 4}={10 \choose 6}</math>

<math>1540 = {1540 \choose 1} ={1540 \choose 1539} = {56 \choose 2} ={56 \choose 54} = {22 \choose 3} = {22 \choose 19}</math>

<math>7140 = {7140 \choose 1} ={7140 \choose 7139} = {120 \choose 2} ={120 \choose 118} = {36 \choose 3} = {36 \choose 33}</math>

<math>11628 = {11628 \choose 1} = {11628 \choose 11627} = {153 \choose 2} = {153 \choose 151} = {19 \choose 5} = {19 \choose 14}</math>

<math>24310 = {24310 \choose 1} = {24310 \choose 24309} = {221 \choose 2} = {221 \choose 219} = {17 \choose 8} = {17 \choose 9}</math>

在辛馬斯特的無限數列（以斐波那契數定義）中的下一個數，同時也是下一個出現六次或以上的最小數是 <math>a = 61218182743304701891431482520</math>：

<math>a = {a \choose 1} = {a \choose a-1} = {104 \choose 39} = {104 \choose 65} = {103 \choose 40} = {103 \choose 63}</math>

出現八次的最小數——事實上也是唯一已知出現八次的數——是 3003，它同時也是辛馬斯特無限數列中出現次數至少為6的成員之一：

<math>3003 = {3003 \choose 1} = {78 \choose 2} = {15 \choose 5} = {14 \choose 6} = {14 \choose 8} = {15 \choose 10} = {78 \choose 76} = {3003 \choose 3002} </math>

目前尚不清楚是否有無限多個數出現八次，甚至不知道除了 3003 之外是否還有其他數出現八次。

數字 n 在帕斯卡三角形中出現的次數為

∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ...

根據 Abbott、Erdős 和 Hanson (1974) 的研究，在帕斯卡三角形中，不大於 x 且出現超過兩次的整數個數為 <math>O(x^{1/2})</math>。

在帕斯卡三角形中，大於1 且出現（至少）n 次的最小自然數為

2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ...

在帕斯卡三角形中出現至少五次的數為

1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ...

其中，屬於辛馬斯特無限數列的數為

1, 3003, 61218182743304701891431482520, ...

未解問題

目前尚不清楚是否有任何數字出現超過八次，也不知道除了 3003 之外是否還有其他數字出現這麼多次。猜想的有限上界可能小至 8，但辛馬斯特本人認為可能是 10 或12。同樣未知的是，是否有任何數字恰好出現五次或七次。

參見

二項式係數

參考資料