貝爾測度

在數學中，貝爾測度（Baire measure）是定義在拓撲空間的貝爾集 σ-代數上的一種測度，其在每個緊貝爾集（compact Baire set）上的取值皆為有限。在緊緻度量空間中，波萊爾集（Borel set）與貝爾集（Baire set）相同，因此貝爾測度等同於在緊緻集上取值為有限的波萊爾測度。一般而言，貝爾集與波萊爾集未必相同。在存在非貝爾集的波萊爾集的空間中，人們使用貝爾測度，是因為它們與連續函數的性質有更直接的關聯。

變體

貝爾集的定義存在數種不等價的版本，因此在拓撲空間上，貝爾測度的概念也相應地有數種不等價的版本。在局部緊緻 σ-緊緻郝斯多夫空間（locally compact σ-compact Hausdorff space）上，這些定義皆為一致。

與波萊爾測度的關係

在實務上，貝爾測度可由正則波萊爾測度（regular Borel measure）取代。貝爾測度與正則波萊爾測度之間的關係如下：

• 將一個有限波萊爾測度限制在貝爾集上，會得到一個貝爾測度。
• 緊緻空間上的有限貝爾測度必定是正則的。
• 緊緻空間上的有限貝爾測度是一個唯一的正則波萊爾測度的限制。
• 在緊緻（或 σ-緊緻）度量空間上，波萊爾集與貝爾集相同，波萊爾測度也與貝爾測度相同。

範例

• 單位區間上的計數測度（Counting measure）是一種定義於貝爾集上的測度，但它不是正則的（也非 σ-有限的）。
• 局部緊緻群上的（左或右）哈爾測度（Haar measure）是一種貝爾測度，它在該群對自身的左（右）作用下保持不變。特別地，如果該群是阿貝爾群（abelian group），則左、右哈爾測度會重合，我們稱此哈爾測度具有平移不變性。另見龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）。