算術導數
在數論中，拉格里亞斯算術導數或稱數導數，是針對整數定義的一種函數。它以質因數分解為基礎，並類比於數學分析中所使用的函數導數的乘法法則。
算術導數有多個版本，除了本文所討論的拉格里亞斯算術導數外，還包括井原算術導數和布伊姆算術導數等。
早期歷史
算術導數由西班牙數學家 Josè Mingot Shelly 於 1911 年引入。此概念也曾出現於 1950 年的普特南數學競賽中。
定義
對於自然數 <math>n</math>，算術導數 <math>D(n)</math> 的定義如下：
- 對於任意質數 <math>p</math>，<math>D(p)=1</math>。
- 對於任意 <math>m, n \in \N</math>，<math>D(mn) = D(m)n + mD(n)</math>（萊布尼茲法則）。
擴展至自然數之外
Edward J. Barbeau 將定義域擴展至所有整數，他證明了 <math>D(-1) = 1</math> 的選擇可將定義域唯一地擴展至整數，且與乘法公式相符。Barbeau 還將其進一步擴展至有理數，證明了常見的除法法則在 <math>\Q</math> 上給出了一個定義明確的導數：
- <math>D\!\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{D(m)n-m D(n)}{n^2} .</math>
Victor Ufnarovski 和 Bo Åhlander 將其擴展至可寫為質數任意有理數次方乘積的無理數，從而可以計算如 <math>D(\sqrt{3}\,)</math> 這樣的表達式。
算術導數亦可擴展至任何唯一分解整環 (UFD)，例如高斯整數與艾森斯坦整數，以及其相關的分式體。若唯一分解整環是一個多項式環，則算術導數與該多項式環上的導子相同。例如，對於單變數實數與複數多項式及有理函數的環，其常規導數即為算術導數，這可透過代數基本定理證明。
算術導數也已被擴展至模 n 整數環。
基本性質
萊布尼茲法則意味著 <math>D(0) = 0</math>（取 <math>m=n=0</math>）及 <math>D(1) = 0</math>（取 <math>m=n=1</math>）。
冪法則對算術導數同樣有效。對於任意整數 <math>k</math> 和 <math>n \ge 0</math>：
- <math>D(k^n) = nk^{n-1} D(k).</math>
這使得我們可以從一個整數的質因數分解 <math display="inline">x = \prod\limits_{p \in \mathbb{P}} p^{n_p} </math>（其中 <math display="inline">n_p = \nu_p(x)</math> 是 <math>x</math> 的 p進賦值）來計算其導數：
- <math>D(x) = \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \frac{x}{p^{n_p}} n_p \, p^{n_p-1} D(p)
= \sum_{\stackrel{p \vert x}{p \in \mathbb{P}}} n_p \frac x p D(p) = x \sum_{\stackrel{p \vert x}{p \in \mathbb{P}}} \frac {n_p} {p} D(p) </math>.
這表明，若已知所有質數的導數，則 <math>D(x)</math> 的導數便完全可知。事實上，相對於質數 <math display=inline>p</math> 的算術偏導數族 <math display=inline>\frac \partial {\partial p}</math>（定義為對於所有質數 <math display=inline>q</math>，<math display=inline>\frac \partial {\partial p}(q)=0</math>，僅當 <math display=inline>q=p</math> 時 <math display=inline>\frac \partial {\partial p}(p)=1</math>）構成了導數空間的一個基底。注意，對於此導數，我們有 <math>\frac {\partial x}{\partial p} = n_p \frac x p</math>。
通常，我們取導數使得對所有質數 <math display=inline>p</math>，<math display=inline>D(p)=1</math>，於是
- <math>D=\sum\limits_{p \in \mathbb{P}}\frac \partial {\partial p} \text{，且 } D(x)= x \sum\limits_{p \in \mathbb{P}} \frac {n_p} p</math>。
使用此導數，我們可得例如：
- <math>D(60) = D(2^2 \cdot 3 \cdot 5) = 60 \cdot \left(\frac{2}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) = 92,</math>
或
- <math>D(81) = D(3^4) = 4\cdot 3^3\cdot D(3) = 4\cdot 27\cdot 1 = 108.</math>
對於 <math>n=0, 1, 2, \ldots</math>，數導數序列的前幾項為：
- <math>0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, \ldots</math>
相關函數
對數導數 <math>\operatorname{ld}(x)=\frac{D(x)}{x} = \sum_{\stackrel{p \,\mid\, x}{p \in \mathbb{P}}} \frac {\nu_p(x)} {p}</math> 是一個完全加性函數：<math>\operatorname{ld}(x \cdot y) = \operatorname{ld}(x)+\operatorname{ld}(y)</math>。
令 <math>p</math> 為一質數。<math>x</math> 相對於 <math>p</math> 的算術偏導數定義為 <math>D_p(x)=\frac {\nu_p(x)} {p} x</math>。因此，<math>x</math> 的算術導數可表示為 <math>D(x) = \sum_{\stackrel{p \,\mid\, x}{p \in \mathbb{P}}} D_p(x)</math>。
令 <math>S</math> 為一非空質數集合。<math>x</math> 相對於 <math>S</math> 的算術子導數定義為 <math>D_S(x) = \sum_{\stackrel{p \,\mid\, x}{p \in S}} D_p(x)</math>。 若 <math>S</math> 為所有質數的集合，則 <math>D_S(x) = D(x)</math>，即通常的算術導數。若 <math>S=\{p\}</math>，則 <math>D_S(x) = D_p(x)</math>，即算術偏導數。
一個算術函數 <math>f</math> 若存在一個完全積性函數 <math>h_f</math>，使得對所有正整數 <math>m</math> 和 <math>n</math>，<math>f(mn) = f(m)h_f(n)+f(n)h_f(m)</math> 成立，則稱其為萊布尼茲加性函數。此概念的動機在於，萊布尼茲加性函數是算術導數 <math>D</math> 的推廣；具體而言，<math>D</math> 是萊布尼茲加性函數，其中 <math>h_D(n)=n</math>。
在 Sandor 與 Atanassov 合著書籍的第 3.5 節中給出的函數 <math>\delta</math>，事實上與通常的算術導數 <math>D</math> 完全相同。
不等式與界
E. J. Barbeau 研究了算術導數的界，並發現
- <math>D(n) \leq \frac{n \log_2 n}{2}</math>
以及
- <math>D(n) \geq \Omega(n)\, n^{\frac{\Omega(n)-1}{\Omega(n)}}</math>
其中 <math>\Omega(n)</math> 是質數omega函數，表示 <math>n</math> 的質因數個數（含重數）。在上述兩個不等式中，等號總在 <math>n</math> 是 2 的次方時成立。
Dahl、Olsson 和 Loiko 發現自然數的算術導數有界於
- <math>D(n) \leq \frac{n \log_p n}{p}</math>
其中 <math>p</math> 是 <math>n</math> 的最小質因數，且等號在 <math>n</math> 是 <math>p</math> 的次方時成立。
Alexander Loiko、Jonas Olsson 和 Niklas Dahl 發現，對於擴展至有理數的算術導數，無法找到類似的界。他們證明了在任意兩個有理數之間，存在其他有理數，其導數可任意大或任意小（注意這意味著算術導數作為從 <math>\mathbb{Q}</math> 到 <math>\mathbb{Q}</math> 的函數是不連續的）。
平均階
我們有
- <math>\sum_{n \le x} \frac{D(n)}{n} = T_0 x + O(\log x \log\log x)</math>
以及
- <math>\sum_{n \le x} D(n) = \left(\frac{1}{2}\right)T_0 x^2 + O(x^{1+\delta})</math>
對於任意 δ > 0，其中
- <math>T_0 = \sum_p \frac{1}{p(p-1)}. </math>
與數論的關聯
Victor Ufnarovski 和 Bo Åhlander 詳細闡述了此函數與著名的數論猜想之間的聯繫，如孿生質數猜想、三質數猜想以及哥德巴赫猜想。例如，哥德巴赫猜想將意味著，對於每個 <math>k > 1</math>，存在一個 <math>n</math> 使得 <math>D(n) = 2k</math>。孿生質數猜想將意味著，存在無窮多個 <math>k</math>，使得 <math>D^2(k) = 1</math>。
參見
- 算術函數
- 導子（微分代數）
- p-導子