穩定曲線
在代數幾何中，穩定曲線是在幾何不變量理論的意義下漸進穩定的一種代數曲線。
這等價於它是一條完備的連通曲線，其僅有的奇點是普通二重點，且其自同構群是有限的。 自同構群為有限的條件，可由算術虧格不為一且每個非奇異有理分支與其他分支至少有 3 個交點的條件所取代。
半穩定曲線滿足類似的條件，但其自同構群被允許是可約的而非有限的（或等價地，其連通分支可以是環面）。另一種等價條件是，非奇異有理分支與其他分支至少有三個交點的條件，被放寬為至少有兩個交點。
類似地，一條帶有有限個標記點的曲線被稱為穩定的，若其為完備、連通、僅有普通二重點為奇點，且自同構群為有限。例如，一條橢圓曲線（一條帶有 1 個標記點的非奇異虧格 1 曲線）是穩定的。
在複數域上，一條連通曲線是穩定的，若且唯若在移除所有奇點與標記點後，其所有分支的泛覆疊皆同構於單位圓盤。
定義
給定一任意概形 S 及 g \geq 2，一個在 S 上的穩定虧格 g 曲線被定義為一個真平坦態射 \pi: C \to S，使得其幾何纖維為既約、連通的一維概形 C_s，且滿足：
- C_s 僅有普通二重點奇點
- 每個有理分支 E 與其他分支的交點超過 2 個
- \dim H^1(\mathcal{O}_{C_s}) = g
需要這些技術性條件，是因為 (1) 降低了技術複雜度（皮卡-萊夫謝茨理論亦可應用於此），(2) 使曲線變得剛硬，從而使之後構造的模疊沒有無窮小自同構，以及 (3) 保證了每個纖維的算術虧格皆相同。注意，對於條件 (1)，在橢圓曲面中發現的奇點類型可以被完全分類。
範例
穩定曲線族的一個經典例子是魏爾斯特拉斯曲線族
\begin{matrix} \operatorname{Proj}\left( \frac{\mathbb{Q}[t][x,y,z]}{(y^2z - x(x-z)(x-tz)} \right) \\ \downarrow \\ \operatorname{Spec}(\mathbb{Q}[t]) \end{matrix}
其中在每個點 \neq 0,1 上的纖維都是光滑的，而退化點僅有一個二重點奇點。這個例子可以推廣至在有限多個點上退化的單參數光滑超橢圓曲線族。
反例
在多於一個參數的一般情況下，必須注意移除那些奇點比二重點更差的曲線。例如，考慮在 \mathbb{A}^2_{s,t} 上由以下多項式所構造的曲線族
y^2 = x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)
因為沿著對角線 s = t，會出現非二重點的奇點。另一個反例是在 \mathbb{A}^1_t 上由以下多項式給出的曲線族
x^3 -y^2 + t
這是一個橢圓曲線族，其退化為一條帶有尖點的有理曲線。
性質
穩定曲線最重要的一個性質是它們是局部完全交。這意味著標準的塞爾對偶理論可以被應用。特別地，可以證明對於每個穩定曲線，\omega_{C/S}^{\otimes 3} 都是一個相對非常豐沛層；它可用於將曲線嵌入到 \mathbb{P}^{5g - 6}_S 中。利用標準的希爾伯特概形理論，我們可以構造一個嵌入在某個射影空間中的虧格 g 曲線的模概形。希爾伯特多項式由下式給出
P_g(n) = (6n-1)(g-1)
在希爾伯特概形中，存在一個由穩定曲線構成的子軌跡
H_g \subset \textbf{Hilb}^{P_g}_{\mathbb{P}^{5g - 6}_\mathbb{Z}}
這表示了函子
\mathcal{H}_g(S) \cong \left. \left\{ \begin{matrix} & \text{穩定曲線 } \pi: C \to S \\ & \text{ 帶有一個同構 } \\ & \mathbb{P}(\pi_*(\omega_{C/S}^{\otimes 3})) \cong \mathbb{P}^{5g-6}\times S \end{matrix} \right\}\Bigg/ {\sim} \right. \cong \operatorname{Hom}(S,H_g)
其中 \sim 是穩定曲線的同構。為了使其成為不考慮嵌入（由射影空間的同構所編碼）的曲線模空間，我們必須商去 PGL(5g - 6) 的作用。這就給出了模疊
\mathcal{M}_g := [\underline{H}_g / \underline{PGL}(5g-6)]
參見
- 代數曲線模
- 曲線的穩定映射