狄拉克－馮·諾伊曼公理

在數學物理學中，狄拉克-馮紐曼公理（Dirac–von Neumann axioms）以希爾伯特空間上的算符，給出了量子力學的數學表述。此公理由保羅·狄拉克於1930年及約翰·馮紐曼於1932年引入。

希爾伯特空間表述

空間 <math>\mathbb{H}</math> 是一個固定的複希爾伯特空間，具有可數無限維（就希爾伯特基底而言）。

• 量子系統的可觀測量定義為 <math>\mathbb{H}</math> 上的（可能為無界的）自伴算符 <math>A</math>。
• 量子系統的態 <math>\psi</math> 是 <math>\mathbb{H}</math> 中的單位向量（不計純量倍數）；或等價地說，是希爾伯特空間 <math>\mathbb{H}</math> 中的一條射線。
• 對於處於態 <math>\psi</math> 的系統，其可觀測量 A 的期望值由內積 <math>\langle \psi, A \psi \rangle</math> 給出。

算符代數表述

狄拉克-馮紐曼公理亦可以C*-代數的方式表述如下。

• 量子力學系統的有界可觀測量定義為 C*-代數的自伴元。
• 量子力學系統的態定義為 C*-代數的態（換言之，即歸一化正線性泛函 <math>\omega</math>）。
• 若量子系統處於態 <math>\omega</math>，則態 <math>\omega</math> 在元 <math>A</math> 上的值 <math>\omega (A)</math> 即為可觀測量 <math>A</math> 的期望值。

範例

若 C*-代數是希爾伯特空間 <math>\mathbb{H}</math> 上所有有界算符所構成的代數，則有界可觀測量即為 <math>\mathbb{H}</math> 上的有界自伴算符。若 <math>v</math> 是 <math>\mathbb{H}</math> 中的一個單位向量，則 <math>\omega (A) = \langle v, A v \rangle</math> 是此 C*-代數上的一個態，這意味著單位向量（不計純量乘法）給出了系統的態。這與狄拉克的量子力學表述相似，但狄拉克亦允許無界算符，且未明確區分自伴算符與厄米算符。

參見

• 量子力學
• 薛丁格方程式
• 約翰·馮紐曼