機電類比

機電類比是將機械系統表示為電路網路的一種方法。起初，這種類比被反向使用，以熟悉的機械術語來幫助解釋電氣現象。詹姆斯·克拉克·馬克士威在19世紀引入了此類類比。然而，隨著電路網路分析技術的成熟，人們發現某些機械問題可以透過電機類比更輕易地解決。在電學領域，特別有用的理論發展是使用集總元件模型將電路網路表示為抽象的拓撲圖（電路圖），以及網路分析能夠合成一個網路以滿足指定的頻率函數。

這種方法在設計機械濾波器時尤其有用——這類濾波器使用機械裝置來實現電氣功能。然而，該技術也可用於解決純粹的機械問題，並可擴展到其他不相關的能量域。如今，類比分析已成為涉及多個能量域時的標準設計工具。它的一大優勢是整個系統可以用一種統一、連貫的方式來表示。電機類比尤其被換能器設計師所使用，因為換能器本質上就跨越能量域；在控制系統中也很常用，其感測器和致動器通常也是跨域的換能器。一個由電機類比所表示的特定系統，可能完全不包含任何電氣零件。因此，在為控制系統開發網路圖時，偏好使用領域中性的術語。

機電類比的建立，是透過找出一個領域中變數之間的關係，其數學形式與另一領域中的變數相同。要做到這一點，並非只有一種獨特的方法；理論上存在多種類比，但有兩種被廣泛使用：阻抗類比與可動性類比。阻抗類比使力與電壓類比，而可動性類比則使力與電流類比。僅此一點不足以完全定義類比，還必須選擇第二個變數。一個常見的選擇是使功率共軛變數對相互類比。這些變數相乘後的單位是功率。例如，在阻抗類比中，這導致力與速度分別類比於電壓與電流。

這些類比的變體被用於旋轉機械系統，例如電動馬達。在阻抗類比中，是以力矩而非力來類比電壓。在一個包含旋轉和往復運動部件的系統中，完全可能需要兩種版本的類比，在這種情況下，機械域內需要力-力矩類比，而對電氣域則需要力-力矩-電壓類比。對於聲學系統，則需要另一種變體；在此，壓力與電壓被類比（阻抗類比）。在阻抗類比中，功率共軛變數的比值總是一個與電阻抗類比的量。例如，力/速度是機械阻抗。可動性類比並不保持跨域阻抗之間的這種類比關係，但它相較於阻抗類比有另一個優點。在可動性類比中，網路的拓撲結構得以保持，一個機械網路圖與其類比的電路網路圖具有相同的拓撲結構。

應用

機電類比透過在機械與電氣參數之間建立類比，將機械系統的功能表示為一個等效的電氣系統。一個純粹的機械系統可以如此表示，但類比在機械與電氣部件相互連接的機電系統中用途最大。類比在分析機械濾波器時特別有用。這些濾波器由機械部件構成，但設計用於透過換能器在電路中工作。電路理論在電氣領域已發展成熟，尤其是有豐富的濾波器理論可供使用。機械系統可以透過機電類比，將這些電氣理論應用於機械設計中。

在系統包含不同能量域之間的換能器時，機電類比普遍有用。另一個應用領域是聲學系統的機械部分，例如唱盤的唱頭和唱臂。這在早期留聲機中相當重要，當時音訊完全不經電氣放大，而是從唱針透過各種機械組件傳輸到喇叭。早期的留聲機因機械部件中不必要的共振而受到嚴重影響。後來發現，可以將機械部件視為一個低通濾波器的組件來消除這些共振，這具有使通帶變得平坦的效果。

機械系統的電機類比也可作為教學輔助工具，幫助理解機械系統的行為。在過去，直到大約20世紀初，更可能的情況是反向使用類比；當時人們會用機械類比來解釋當時尚不甚了解的電氣現象。

建立類比

電氣系統通常透過電路圖來描述。這些是使用專門圖形符號描述電氣系統拓撲結構的網路圖。電路圖並不試圖表示電氣組件的真實物理尺寸或它們之間的實際空間關係。這之所以可能，是因為電氣組件被表示為理想的集總元件，也就是說，元件被視為佔據單一點（集總於該點）。非理想組件可以透過使用多個元件來表示該組件，從而納入此模型中。例如，一個用作電感的線圈同時具有電阻和電感。這在電路圖上可以表示為一個電阻與一個電感串聯。因此，建立機械系統類比的第一步，就是以類似的方式將其描述為一個機械網路，即一個由理想元件組成的拓撲圖。此外，也可以使用比電路圖更抽象的表示法，例如鍵合圖。 在一個限於線性系統的電路網路圖中，有三個被動元件：電阻、電感和電容；以及兩個主動元件：電壓產生器和電流產生器。這些元件的機械類比可用於建構機械網路圖。這些元件的機械類比是什麼，取決於選擇哪些變數作為基本變數。可供使用的變數選擇範圍很廣，但最常用的是一對功率共軛變數（如下所述）以及由此衍生的哈密頓變數對。

這種集總元件模型的適用性有限。如果組件足夠小，以至於波橫越它們所需的時間可以忽略不計，或者等效地說，波在組件兩側沒有顯著的相位差，則該模型效果良好。所謂的「顯著」取決於模型所需的精確度，但一個常見的經驗法則是要求組件小於波長的十六分之一。由於波長隨頻率增加而減少，這對這類設計所能涵蓋的頻率設定了上限。在機械領域，這個上限遠低於電氣領域的等效上限。這是因為電氣領域中更高的傳播速度導致更長的波長（鋼中的機械振動傳播速度約為6,000 m/s，而常見電纜中的電磁波傳播速度約為2x108 m/s）。例如，傳統的機械濾波器最高只能做到約600 kHz（儘管MEMS裝置因其極小的尺寸可以在更高的頻率下運作）。另一方面，在電氣領域，從集總元件模型過渡到分布元件模型發生在數百兆赫茲的區域。

在某些情況下，即使存在需要分布元件分析的組件，仍可能繼續使用拓撲網路圖。在電氣領域，傳輸線是一個基本的分布元件組件，可以透過引入電氣長度這個額外元件將其納入模型中。傳輸線是一個特例，因為它沿其長度是不變的，因此不需要對其完整幾何形狀進行建模。處理分布元件的另一種方法是使用有限元素分析，即將分布元件近似為大量微小的集總元件。就有論文採用這種方法來模擬人耳的耳蝸。應用集總元件模型的電氣系統所需的另一個條件是，組件外部不存在顯著的場，因為這些場可能會耦合到其他無關的組件。然而，這些效應通常可以透過引入一些稱為雜散或寄生元件的虛擬集總元件來建模。機械系統中的一個類比是，一個組件的振動耦合到一個無關的組件。

功率共軛變數

功率共軛變數是一對其乘積為功率的變數。在電氣領域，所選的功率共軛變數總是電壓（v）和電流（i）。因此，機械領域的功率共軛變數是類比量。然而，這並不足以使機械基本變數的選擇變得唯一。對於平移機械系統，通常的選擇是力（F）和速度（u），但這不是唯一的選擇。對於具有不同幾何形狀的系統，例如旋轉系統，另一對變數可能更合適。

即使在選定了機械基本變數之後，仍然沒有一組唯一的類比。這兩對功率共軛變數在類比中有兩種方式可以相互關聯。例如，可以建立 F 與 v 以及 u 與 i 的關聯。然而，另一種關聯 u 與 v 以及 F 與 i 也是可能的。這就產生了兩種類比：阻抗類比和可動性類比。這些類比互為對偶。同一個機械網路在兩個不同的電路網路中有其類比。這兩個電路網路互為對偶電路。

哈密頓變數

哈密頓變數，也稱為能量變數，是那些根據哈密頓方程式為共軛的變數：

此外，哈密頓變數的時間導數是功率共軛變數。

電氣領域中的哈密頓變數是電荷（q）和磁通鏈（λ），因為，

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q} = -\frac {d \lambda}{dt} = v （法拉第感應定律）以及， \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} = \frac {dq}{dt} = i

在平移機械領域中，哈密頓變數是距離位移（x）和動量（p），因為，

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} = -\frac {dp}{dt} = F （牛頓第二運動定律）以及， \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} = \frac {dx}{dt} = u

對於其他類比和變數集，也存在相應的關係。哈密頓變數也稱為能量變數。功率共軛變數對哈密頓變數的積分是能量的度量。例如，

\int F dx 以及， \int u dp

都是能量的表達式。它們也可以根據其在機械領域的類比，稱為廣義動量和廣義位移。一些作者不鼓勵使用這種術語，因為它不是領域中性的。同樣地，也不鼓勵使用 I 型和 V 型（源於電流和電壓）的術語。

類比的類別

目前使用的類比主要有兩大類。阻抗類比（又稱馬克士威類比）保持了機械、聲學和電氣阻抗之間的類比關係，但不保持網路的拓撲結構。機械網路的佈局與其類比的電路網路不同。可動性類比（又稱法爾斯通類比）保持了網路的拓撲結構，但犧牲了跨能量域阻抗之間的類比關係。此外還有貫穿與跨越類比，又稱特倫特類比。電氣域和機械域之間的貫穿與跨越類比與可動性類比相同。然而，電氣域和聲學域之間的類比則類似於阻抗類比。在貫穿與跨越類比中，機械域和聲學域之間的類比與阻抗類比和可動性類比都具有對偶關係。

對於機械平移和旋轉系統，選擇了不同的基本變數，這導致每種類比都有兩種變體。例如，線性距離是平移系統中的位移變數，但這對旋轉系統不太適用，後者使用角度。聲學類比也作為第三種變體被納入描述中。雖然聲能本質上是機械能，但在文獻中它被視為一個不同能量域——流體域的實例，並且有不同的基本變數。要完整地表示機電聲學系統，需要所有三個領域——電氣、機械和聲學——之間的類比。

阻抗類比

阻抗類比，也稱為馬克士威類比，將構成功率共軛對的兩個變數分類為勢變數和流變數。一個能量域中的勢變數是類比於機械領域中力的變數。一個能量域中的流變數是類比於機械領域中速度的變數。在類比域中選擇的功率共軛變數，與力與速度有某些相似之處。

在電氣領域，勢變數是電壓，流變數是電流。電壓與電流之比是電阻（歐姆定律）。在其他領域，勢變數與流變數之比也被描述為電阻。當振盪的電壓和電流之間存在相位差時，便產生了電阻抗的概念。阻抗可以被認為是電阻概念的延伸。電阻與能量耗散相關。阻抗則同時包含能量儲存與能量耗散。

阻抗類比引出了其他能量域中阻抗的概念（但以不同的單位測量）。平移阻抗類比描述在單一線性維度上運動的機械系統，並引出了機械阻抗的概念。機械阻抗的單位是機械歐姆；在國際單位制中為 N-s/m 或 Kg/s。旋轉阻抗類比描述旋轉的機械系統，並引出了旋轉阻抗的概念。在國際單位制中，旋轉阻抗的單位是 N-m-s/rad。聲學阻抗類比引出了聲阻抗的概念。聲阻抗的單位是聲歐姆；在國際單位制中為 N-s/m5。

可動性類比

可動性類比，也稱為法爾斯通類比，是阻抗類比的電氣對偶。也就是說，機械領域中的勢變數類比於電氣領域中的電流（流變數），而機械領域中的流變數則類比於電氣領域中的電壓（勢變數）。代表機械系統的電路網路是阻抗類比中網路的對偶網路。

可動性類比以導納為特徵，就像阻抗類比以阻抗為特徵一樣。導納是阻抗的代數倒數。在機械領域，機械導納通常被稱為可動性。

貫穿與跨越類比

貫穿與跨越類比，也稱為特倫特類比，將構成功率共軛對的兩個變數分類為跨越變數和貫穿變數。跨越變數是出現在元件兩端點的變數。跨越變數是相對於元件端點測量的。貫穿變數是通過或作用於元件的變數，也就是說，它在元件的兩個端點具有相同的值。貫穿與跨越類比的好處是，當選擇貫穿哈密頓變數為一個守恆量時，便可以使用克希荷夫節點定律，且模型將與真實系統具有相同的拓撲結構。

因此，在電氣領域，跨越變數是電壓，貫穿變數是電流。在機械領域，類比的變數是速度和力，與可動性類比相同。在聲學系統中，壓力是一個跨越變數，因為壓力是相對於元件的兩個端點測量的，而不是絕對壓力。因此，它不類比於力，因為力是一個貫穿變數，即使壓力的單位是單位面積上的力。力是作用於整個元件的；施加在桿頂部的力會將相同的力傳遞到連接在其底部的元件。因此，在貫穿與跨越類比中，機械域與電氣域的類比類似於可動性類比，但聲學域與電氣域的類比則類似於阻抗類比。

其他能量域

電機類比可以擴展到許多其他能量域。在感測器和致動器領域，以及使用它們的控制系統中，開發整個系統的電機類比是一種常見的分析方法。由於感測器可以感測任何能量域中的變數，同樣地，系統的輸出也可以在任何能量域中，因此需要所有能量域的類比。下表總結了用於建立類比的最常見的功率共軛變數。

在熱學領域，選擇溫度和熱功率作為基本變數可能更為常見，因為與熵不同，它們可以直接測量。熱阻的概念就是基於這種類比。然而，這些不是功率共軛變數，且與表中的其他變數不完全相容。一個包含此種熱類比的跨多域集成電機類比，將無法正確模擬能量流。

同樣地，常見的使用磁動勢（mmf）和磁通量作為基本變數的類比，它引出了磁阻的概念，也無法正確模擬能量流。磁動勢和磁通量這對變數不是功率共軛對。這種磁阻模型有時被稱為磁阻-電阻模型，因為它使這兩個量相互類比。表中所示的類比，它確實使用了一對功率共軛變數，有時被稱為迴轉器-電容器模型。

換能器

換能器是一種將一個領域的能量作為輸入，並將其轉換為另一個能量域的能量作為輸出的設備。它們通常是可逆的，但很少以這種方式使用。換能器用途廣泛，種類繁多，在機電系統中可用作致動器和感測器。在音訊電子學中，它們提供電氣域和聲學域之間的轉換。換能器提供了機械域和電氣域之間的連結，因此需要為其建立一個網路表示，以便開發一個統一的電機類比。為此，電氣領域中的埠的概念被擴展到其他領域。

換能器至少有兩個埠，一個在機械域，一個在電氣域，並且與電氣雙埠網路類比。這與迄今為止討論的所有單埠元件不同。雙埠網路可以用一個 2×2 矩陣表示，或者等效地，用一個由兩個相依電源和兩個阻抗或導納組成的網路表示。這些表示法有六種標準形式：阻抗參數、鏈參數、混合參數及其反矩陣。任何一種都可以使用。然而，一個在類比變數之間轉換（例如在阻抗類比中將一個勢變數轉換為另一個勢變數）的被動換能器的表示，可以透過用一個變壓器替換相依電源來簡化。

另一方面，一個轉換非類比功率共軛變數的換能器不能用變壓器來表示。在電氣領域中實現此功能的雙埠元件被稱為迴轉器。該設備將電壓轉換為電流，將電流轉換為電壓。依此類推，一個在能量域之間轉換非類比變數的換能器也被稱為迴轉器。例如，電磁換能器將電流轉換為力，將速度轉換為電壓。在阻抗類比中，這樣一個換能器就是一個迴轉器。一個換能器是迴轉器還是變壓器與類比有關；同一個電磁換能器在可動性類比中則是一個變壓器，因為它是在類比變數之間進行轉換。

歷史

詹姆斯·克拉克·馬克士威發展了非常詳細的電氣現象的機械類比。他是第一個將力與電壓聯繫起來的人（1873年），因此通常被認為是阻抗類比的創始人。這是最早的機電類比。然而，「阻抗」這個詞直到1886年，即馬克士威去世很久之後，才由奧利弗·黑維塞創造。複數阻抗的概念由亞瑟·E·肯乃利於1893年引入，而阻抗的概念直到1920年才由肯乃利和亞瑟·戈登·韋伯斯特擴展到機械領域。

馬克士威建構這種類比的目的不是要用電路網路來表示機械系統，而是要用更熟悉的機械術語來解釋電氣現象。當喬治·阿什利·坎貝爾於1899年首次展示使用加感線圈來改善電話線路時，他是透過類比查爾斯·戈弗雷在帶有週期性重物的機械線路上的工作來計算線圈之間的所需距離。隨著電氣現象被更好地理解，這種類比的反向應用，即使用電機類比來解釋機械系統，開始變得越來越普遍。事實上，電氣分析的集總元件抽象拓撲結構對於機械領域以及其他能量領域的問題都有很多可借鑑之處。到1900年，機械領域的電機類比已變得司空見慣。從大約1920年起，電機類比成為一種標準的分析工具。萬尼瓦爾·布希在他開發類比電腦的過程中是這種建模方式的先驅，而克利福德·A·尼克爾在1925年的一篇論文中對此方法進行了連貫的闡述。

將電路網路分析，特別是當時新發展的濾波器理論，應用到機械和聲學系統，導致了性能的巨大提升。根據沃倫·P·梅森的說法，船用電霧笛的效率從不到百分之一提高到百分之五十。當機械留聲機的聲音傳輸機械部件被設計得如同電濾波器的元件時，其頻寬從三個八度音程擴大到五個（另見聲學再現）。值得注意的是，轉換效率也同時得到了提高（而放大系統的通常情況是，增益可以換取頻寬，使得增益-頻寬乘積保持不變）。

1933年，弗洛伊德·A·法爾斯通提出了一種新的類比，即可動性類比，其中力類比於電流而非電壓。法爾斯通在這篇論文中引入了跨越變數和貫穿變數的概念，並提出了一個將類比擴展到其他能量域的結構。霍勒斯·M·特倫特於1955年提出了一種力-電流類比的變體，而通常所說的貫穿與跨越類比指的就是這個版本。特倫特使用線性圖法來表示網路，這導致力-電流類比在歷史上與線性圖相關聯。力-電壓類比在歷史上則與亨利·潘特於1960年引入的鍵合圖表示法一起使用，然而，如果需要，任何一種類比都可以與任何一種表示法一起使用。

參見

• 類比模型
• 彈性 (物理學) 包含有關奧利弗·黑維塞在類比中角色的資訊
• Teledeltos
• 液壓類比

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