恩里克斯–小平分類

在數學中，恩里克斯–小平邦彥分類將緊緻複曲面分為十類，每一類都由一個模空間參數化。對大多數類別而言，其模空間已有透徹的理解；但對於一般型曲面，其模空間似乎過於複雜，難以明確描述，儘管已知其中一些分支。

Max Noether 開始了對代數曲面的系統性研究，而 Guido Castelnuovo 證明了分類中的重要部分。 描述了複射影曲面的分類。 後來將此分類擴展至非代數的緊緻曲面。正特徵曲面的相應分類由 開啟，並由 完成；此分類與特徵 0 的射影情況相似，但在特徵 2 中會額外出現奇異與超奇異恩里克斯曲面，而在特徵 2 和 3 中會出現擬超橢圓曲面。

分類陳述

緊緻複曲面的恩里克斯–小平邦彥分類指出，每個非奇異極小緊緻複曲面都恰好屬於本頁所列 10 種類型之一；換言之，它是有理曲面、規則曲面（虧格 > 0）、VII 型曲面、K3 曲面、恩里克斯曲面、小平曲面、環面曲面、超橢圓曲面、真擬橢圓曲面或一般型曲面之一。

對於一般型以外的 9 類曲面，已有相當完整的描述來說明這些曲面的樣貌（其中 VII 型曲面的描述有賴於全局球殼猜想，此猜想至 2024 年仍未得證）。對於一般型曲面，其具體分類所知甚少，但已找到許多例子。

正特徵（p > 0）代數曲面的分類與特徵 0 的代數曲面分類相似，不同之處在於沒有小平曲面或 VII 型曲面，但在特徵 2 中有一些額外的恩里克斯曲面族，在特徵 2 和 3 中有一些額外的超橢圓曲面族，並且在特徵 2 和 3、小平維數為 1 的情況下，也允許擬橢圓纖維化。這些額外的族可以如此理解：在特徵 0 中，這些曲面是曲面被有限群作用的商；但在有限特徵中，也可以取非 étale 的有限群概形的商。

Oscar Zariski 在正特徵下構造了一些單有理但非有理的曲面，這些曲面源於不可分擴張（扎里斯基曲面）。在正特徵下，Serre 證明了 <math>h^0(\Omega)</math> 可能與 <math>h^1(\mathcal{O})</math> 不同，而 Igusa 則證明了即使兩者相等，其值也可能大於不規則數（皮卡簇的維數）。

曲面的不變量

霍奇數與小平維數

在分類中使用的最重要緊緻複曲面不變量，可以通過不同層上同調群的維數來表示。基本不變量是多虧格與霍奇數，定義如下：

• K 是典範線叢，其截面為全純 2-形式。

• <math>P_n = \dim H^0(K^n), n \geqslant 1</math> 稱為多虧格。它們是雙有理不變量，即在吹脹下不變。Robert Friedman 與 John Morgan 利用塞伯格–威滕理論證明，對複流形而言，多虧格僅取決於底層的定向光滑 4-流形。對於非凱勒曲面，多虧格由基本群決定；但對於凱勒曲面，存在同胚但具有不同多虧格與小平維數的曲面例子。個別的多虧格不常使用；其最重要之處在於其增長率，由小平維數來衡量。

• <math>\kappa</math> 是小平維數：若所有多虧格均為 0，則為 <math>-\infty</math>（有時寫作 -1）；否則，它是使得 <math>P_n/n^{\kappa}</math> 有界的最小數（對曲面而言為 0、1 或 2）。Enriques 並未使用此定義，而是使用 <math>P_{12}</math> 和 <math>K \cdot K = c_1^2</math> 的值。根據以下對應關係，這些值決定了小平維數：

<math>\begin{align}

\kappa = -\infty &\longleftrightarrow P_{12} = 0 \\ \kappa = 0 &\longleftrightarrow P_{12} = 1 \\ \kappa = 1 &\longleftrightarrow P_{12} > 1 \text{ 且 } K\cdot K = 0 \\ \kappa = 2 &\longleftrightarrow P_{12} > 1 \text{ 且 } K\cdot K > 0 \\ \end{align}</math>

• <math>h^{i,j} = \dim H^j(X, \Omega^i),</math> 其中 <math>\Omega^i</math> 是全純 i-形式層，這些是霍奇數，通常排列成霍奇菱形：

<math>\begin{matrix}

& & h^{0,0} & & \\
& h^{1,0} & & h^{0,1} & \\

h^{2,0} & & h^{1,1} & & h^{0,2}\\

& h^{2,1} & & h^{1,2} & \\
& & h^{2,2} & & \\

\end{matrix}</math>

根據塞爾對偶，<math>h^{i,j} = h^{2-i,2-j}</math> 且 <math>h^{0,0} =h^{2,2} =1</math>。複曲面的霍奇數僅取決於曲面的定向實上同調環，並且在雙有理變換下不變，但 <math>h^{1,1}</math> 除外，它在對單點進行吹脹後會增加 1。

• 若曲面是凱勒曲面，則 <math>h^{i,j} = h^{j,i}</math>，且只有三個獨立的霍奇數。
• 若曲面是緊緻的，則 <math>h^{1,0}</math> 等於 <math>h^{0,1}</math> 或 <math>h^{0,1}-1</math>。

與霍奇數相關的不變量

存在許多不變量（至少對複曲面而言）可以寫成霍奇數的線性組合，如下：

• 貝蒂數：定義為 <math>b_i = \dim H^i(S), 0 \leqslant i \leqslant 4</math>。

<math>\begin{cases} b_0 = b_4 = 1 \\ b_1 = b_3 = h^{1,0} +h^{0,1} = h^{2,1} + h^{1,2} \\ b_2 = h^{2,0} + h^{1,1} + h^{0,2} \end{cases}</math>

在特徵 p > 0 時，貝蒂數是使用 l-進上同調定義的，不一定滿足這些關係式。

• 歐拉示性數或歐拉數：

<math>e=b_0-b_1+b_2-b_3+b_4.</math>

• 不規則數定義為皮卡簇與阿爾巴內塞簇的維數，記為 q。對複曲面（但不一定對素數特徵曲面）而言：

<math>q= h^{0,1}.</math>

• 幾何虧格：

<math>p_g = h^{0,2} = h^{2,0} = P_1.</math>

• 算術虧格：

<math>p_a = p_g - q = h^{0,2} - h^{0,1}.</math>

• 平凡叢的全純歐拉示性數（通常與上述定義的歐拉數 e 不同）：

<math>\chi = p_g - q +1 = h^{0,2} -h^{0,1} +1.</math>

根據諾特定理，它也等於托德虧格 <math>\tfrac{1}{12}(c_1^2 +c_2)</math>。

• 對複曲面而言，第二上同調群的指標記為 <math>\tau</math>：

<math>\tau = 4\chi - e = \sum\nolimits_{i,j}(-1)^j h^{i,j}.</math>

• <math>b^{\pm}</math> 是 <math>H^2</math> 的最大正定與負定子空間的維數，因此：

<math>\begin{cases} b^+ + b^- = b_2 \\ b^+-b^- = \tau \end{cases}</math>

• c₂ = e 與 <math>c_1^2 = K^2 = 12\chi - e</math> 是陳數，定義為各種陳類多項式在流形上的積分。

其他不變量

緊緻複曲面還有其他不變量，在分類中較少使用。這些包括代數不變量，例如除子對線性等價的皮卡群 Pic(X)，其商群內龍–塞維里群 NS(X)（其階數為皮卡數 ρ）；拓撲不變量，例如基本群 π₁ 以及整同調與上同調群；以及底層光滑 4-流形的不變量，例如塞伯格–威滕不變量與唐納森不變量。

極小模型與吹脹

任何曲面都雙有理於一個非奇異曲面，因此在大多數情況下，僅需對非奇異曲面進行分類。

對於曲面上的任意一點，我們可以對該點進行吹脹以形成一個新曲面，這大致意味著我們將該點替換為一個射影線的複本。就本文而言，如果一個非奇異曲面 X 無法由另一個非奇異曲面經由吹脹一點而得到，則稱 X 為極小的。根據卡斯泰爾諾沃收縮定理，這等價於說 X 不含 (−1)-曲線（自交數為 -1 的光滑有理曲線）。（在極小模型綱領的更現代術語中，如果一個光滑射影曲面 X 的典範線叢 K_X 是 nef 的，則稱其為極小的。一個光滑射影曲面在該更強意義下擁有極小模型的充分必要條件是其小平維數為非負。）

每個曲面 X 都雙有理於一個極小非奇異曲面，且若 X 的小平維數至少為 0 或非代數曲面，則此極小非奇異曲面是唯一的。小平維數為 <math>-\infty</math> 的代數曲面可能雙有理於多於一個極小非奇異曲面，但這些極小曲面之間的關係很容易描述。例如，P¹ × P¹ 在一點吹脹後，同構於 P² 吹脹兩次。因此，要對所有緊緻複曲面進行雙有理同構分類，（或多或少）只需對極小非奇異曲面進行分類。

小平維數為 −∞ 的曲面

小平維數為 <math>-\infty</math> 的代數曲面可分類如下。若 q > 0，則到阿爾巴內塞簇的映射其纖維為射影線（若曲面為極小的），因此該曲面為規則曲面。若 q = 0，此論證不成立，因為阿爾巴內塞簇是一個點，但在這種情況下，卡斯泰爾諾沃定理意味著該曲面是有理的。

對於非代數曲面，小平邦彥發現了另一類曲面，稱為 VII 型，此類曲面至今仍未被完全理解。

有理曲面

有理曲面指雙有理於複射影平面 P² 的曲面。這些曲面都是代數的。極小有理曲面為 P² 本身以及希策布魯赫曲面 Σ_n（n = 0 或 n ≥ 2）。（希策布魯赫曲面 Σ_n 是與層 O(0) + O(n) 相關的、在 P¹ 上的 P¹ 叢。曲面 Σ₀ 同構於 P¹ × P¹，而 Σ₁ 同構於 P² 在一點吹脹後得到的曲面，因此不是極小的。）

不變量：所有多虧格均為 0，基本群為平凡群。

霍奇菱形：

例子：P²、P¹ × P¹ = Σ₀、希策布魯赫曲面 Σ_n、二次曲面、三次曲面、德爾佩佐曲面、維羅內塞曲面。其中許多例子是非極小的。

虧格 > 0 的規則曲面

虧格為 g 的規則曲面，具有一個到虧格為 g 的曲線的光滑態射，其纖維為直線 P¹。它們都是代數的。 （虧格為 0 的規則曲面即希策布魯赫曲面，是有理的。）任何規則曲面都雙有理等價於 P¹ × C，其中 C 是唯一的曲線，因此規則曲面的雙有理等價分類基本上與曲線的分類相同。一個不同構於 P¹ × P¹ 的規則曲面有唯一的標紋（P¹ × P¹ 有兩個）。

不變量：所有多虧格均為 0。

霍奇菱形：

例子：任何虧格 > 0 的曲線與 P¹ 的乘積。

VII 型曲面

這些曲面絕非代數曲面或凱勒曲面。b₂ = 0 的極小曲面已由 Bogomolov 分類，它們是霍普夫曲面或井上曲面。第二貝蒂數為正的例子包括井上-希策布魯赫曲面、榎曲面，以及更一般的加藤曲面。全局球殼猜想意味著所有第二貝蒂數為正的極小 VII 型曲面都是加藤曲面，這將或多或少地完成 VII 型曲面的分類。

不變量：q = 1，h^1,0 = 0。所有多虧格均為 0。

霍奇菱形：

小平維數為 0 的曲面

這些曲面的分類始於諾特定理 <math>12\chi = c_2 + c_1^2</math>。對於小平維數為 0 的曲面，K 與自身的交數為零，因此 <math>c_1^2 = 0</math>。利用

<math>\begin{align}

\chi &= h^{0,0} - h^{0,1} +h^{0,2} \\ c_2 &= 2 - 2b_1 +b_2 \end{align}</math>

我們得到：

<math>10+12h^{0,2} = 8 h^{0,1} + 2 \left (2h^{0,1} - b_1 \right )+ b_2 </math>

此外，由於 κ = 0，我們有：

<math>h^{0,2} = \begin{cases} 1 & K = 0 \\ 0 & \text{其他情況} \end{cases}</math>

將此與前式結合，得到：

<math>8 h^{0,1} + 2 \left (2h^{0,1} - b_1 \right )+ b_2 = \begin{cases} 22 & K = 0 \\ 10 & \text{其他情況} \end{cases}</math>

一般來說，2h^0,1 ≥ b₁，因此左邊的三項均為非負整數，此方程式只有少數解。

• 對於代數曲面，2h^0,1 − b₁ 是一個介於 0 與 2p_g 之間的偶數。
• 對於緊緻複曲面，2h^0,1 − b₁ = 0 或 1。
• 對於凱勒曲面，2h^0,1 − b₁ = 0 且 h^1,0 = h^0,1。

這些條件的大多數解都對應於一類曲面，如下表所示：

K3 曲面

這些是小平維數為 0、q = 0 且具有平凡典範線叢的極小緊緻複曲面。它們都是凱勒流形。所有 K3 曲面都是微分同胚的，它們的微分同胚類是光滑自旋單連通 4-流形的一個重要例子。

不變量：第二上同調群 H²(X, Z) 同構於唯一的 22 維、指標為 -16 的偶么模格 II_3,19。

霍奇菱形：

例子：

• P³(C) 中的 4 次超曲面
• 庫默爾曲面。它們是將一個阿貝爾曲面通過自同構 a → −a 取商，然後吹脹 16 個奇異點而得到。

一個標記 K3 曲面是一個 K3 曲面，連同一個從 II_3,19 到 H²(X, Z) 的同構。標記 K3 曲面的模空間是一個 20 維的連通、非豪斯多夫的光滑解析空間。代數 K3 曲面構成其中可數個 19 維子簇的集合。

阿貝爾曲面與二維複環面

二維複環面包括阿貝爾曲面。一維複環面就是橢圓曲線，且都是代數的，但 Riemann 發現大多數二維複環面並非代數的。代數的複環面恰好是二維阿貝爾簇。其大部分理論是高維環面或阿貝爾簇理論的特例。判斷一個曲面是否為兩個橢圓曲線的乘積（在同源意義下）的準則，是十九世紀一個熱門的研究課題。

不變量：所有多虧格均為 1。曲面微分同胚於 S¹ × S¹ × S¹ × S¹，因此基本群為 Z⁴。

霍奇菱形：

例子：兩個橢圓曲線的乘積。虧格 2 曲線的雅可比簇。C² 被格作用的任何商空間。

小平曲面

這些曲面絕非代數的，儘管它們有非常數的亞純函數。它們通常分為兩個亞型：具有平凡典範叢的主小平曲面，以及由主小平曲面被階為 2、3、4 或 6 的有限群作用之商得到的次小平曲面，後者具有非平凡典範叢。次小平曲面與主小平曲面的關係，如同恩里克斯曲面與 K3 曲面，或雙橢圓曲面與阿貝爾曲面的關係。

不變量：若曲面是主小平曲面被一個階為 k = 1, 2, 3, 4, 6 的群作用的商，則多虧格 P_n 在 n 可被 k 整除時為 1，否則為 0。

霍奇菱形：

例子：取橢圓曲線上的一個非平凡線叢，移除零截面，然後將纖維通過 Z 的作用（乘以某複數 z 的冪次）取商。這就得到了一個主小平曲面。

恩里克斯曲面

這些是滿足 q = 0 且典範線叢非平凡，但其平方為平凡的複曲面。恩里克斯曲面都是代數的（因此也是凱勒曲面）。它們是 K3 曲面被一個階為 2 的群作用的商，其理論與代數 K3 曲面的理論相似。

不變量：多虧格 P_n 在 n 為偶數時為 1，在 n 為奇數時為 0。基本群的階為 2。第二上同調群 H²(X, Z) 同構於唯一的 10 維、指標為 -8 的偶么模格 II_1,9 與一個階為 2 的群的和。

霍奇菱形：

標記恩里克斯曲面構成一個連通的 10 維族，此族已被明確描述。

在特徵 2 中，存在一些額外的恩里克斯曲面族，稱為奇異與超奇異恩里克斯曲面；詳情請參見關於恩里克斯曲面的條目。

超橢圓（或雙橢圓）曲面

在複數域上，這些曲面是兩個橢圓曲線的乘積被一個有限自同構群作用的商。該有限群可以是 Z/2Z、 Z/2Z + Z/2Z、Z/3Z、 Z/3Z + Z/3Z、 Z/4Z、 Z/4Z + Z/2Z 或 Z/6Z，從而給出七個這樣的曲面族。

霍奇菱形：

在特徵 2 或 3 的域上，存在一些額外的族，它們是通過取非 étale 群概形的商而得到的；詳情請參見關於超橢圓曲面的條目。

小平維數為 1 的曲面

橢圓曲面是指帶有橢圓纖維化的曲面（即到一條曲線 B 的滿射全純映射，使得除了有限多個纖維外，所有纖維都是虧格為 1 的光滑不可約曲線）。這種纖維化中的一般纖維是 B 的函數域上的一個虧格為 1 的曲線。反之，給定一條曲面的函數域上的一個虧格為 1 的曲線，其相對極小模型是一個橢圓曲面。小平邦彥等人已對所有橢圓曲面給出了相當完整的描述。特別是，小平邦彥給出了一份所有可能奇異纖維的完整列表。橢圓曲面的理論，類似於橢圓曲線在離散賦值環（例如，p-進整數環）和戴德金整環（例如，數體的整數環）上的真正規模型的理論。

在有限特徵 2 和 3 中，也可以得到擬橢圓曲面，其纖維幾乎都可以是帶有單個節點的有理曲線，這些是「退化的橢圓曲線」。

每個小平維數為 1 的曲面都是橢圓曲面（或在特徵 2 或 3 中是擬橢圓曲面），但反之不成立：一個橢圓曲面的小平維數可以是 <math>-\infty</math>、0 或 1。所有恩里克斯曲面、所有超橢圓曲面、所有小平曲面、一些 K3 曲面、一些阿貝爾曲面和一些有理曲面都是橢圓曲面，而這些例子的 小平維數都小於 1。底曲線 B 的虧格至少為 2 的橢圓曲面，其小平維數總是 1，但對於一些底曲線 B 虧格為 0 或 1 的橢圓曲面，其小平維數也可以是 1。

不變量：<math>c_1^2 =0, c_2\geqslant 0</math>。

例子：若 E 是橢圓曲線，B 是虧格至少為 2 的曲線，則 E×B 是一個小平維數為 1 的橢圓曲面。

小平維數為 2 的曲面（一般型曲面）

這些曲面都是代數的，且在某種意義上，大多數曲面都屬於這一類。Gieseker 證明了存在一個一般型曲面的粗模概形；這意味著對於任何固定的陳數 c₁² 與 c₂ 值，存在一個擬射影概形，用於分類具有這些陳數的一般型曲面。然而，明確描述這些概形是一個非常困難的問題，只有極少數的陳數對完成了這項工作（除非概形是空的！）。

不變量：極小一般型複曲面的陳數必須滿足幾個條件：

• <math>c_1^2, c_2>0</math>
• <math>c_1^2 \leqslant 3c_2</math> （博戈莫洛夫–宮岡–丘不等式）
• <math>5c_1^2 - c_2 + 36 \geqslant 0</math> （諾特不等式）
• <math>c_1^2 + c_2 \equiv 0 \bmod 12.</math>

大多數滿足這些條件的整數對，都是某個一般型複曲面的陳數。

例子：最簡單的例子是兩個虧格至少為 2 的曲線的乘積，以及 P³ 中次數至少為 5 的超曲面。已知還有大量的其他構造方法。然而，目前沒有已知的構造方法能夠產生具有大陳數的「典型」一般型曲面；事實上，甚至不知道是否存在任何關於「典型」一般型曲面的合理概念。已發現許多其他例子，包括大多數希爾伯特模曲面、偽射影平面、巴洛曲面等。

參見

• 代數曲面列表

外部連結

• le superficie algebriche 是由 Pieter Belmans 與 Johan Commelin 製作的恩里克斯–小平邦彥分類的互動式視覺化呈現。

Category:複曲面 Category:雙有理幾何 Category:代數曲面 Category:數學分類系統