廣義雙曲分佈

廣義雙曲分佈 (GH) 是一種連續機率分佈，其定義為一個常態變異數-均值混合，其中混合分佈為廣義逆高斯分佈 (GIG)。其機率密度函數（見資訊框）由第二類修正貝索函數（以 <math>K_\lambda</math> 表示）給出。此分佈由奧利·巴恩多夫-尼爾森引入，他在研究風吹沙物理學時對其進行了探討。

性質

線性轉換

此分佈族在仿射轉換下是封閉的。

求和

巴恩多夫-尼爾森與哈爾格林證明了 GIG 分佈是無限可分的，而由於 GH 分佈可透過以廣義逆高斯分佈為混合分佈的常態變異數-均值混合得到，巴恩多夫-尼爾森與哈爾格林也證明了 GH 分佈同樣是無限可分的。

在摺積下不封閉

無限可分分佈的一個重點是其與李維過程的關聯，亦即李維過程在任何時間點上皆為無限可分分佈。許多著名的無限可分分佈族是所謂的摺積封閉，也就是說，若一李維過程在某個時間點的分佈屬於這些分佈族之一，則該李維過程在所有時間點的分佈都將屬於同一個分佈族。例如，卜瓦松過程在所有時間點上皆為卜瓦松分佈，而布朗運動在所有時間點上皆為常態分佈。然而，一個在某時間點為廣義雙曲分佈的李維過程，在另一時間點可能不再是廣義雙曲分佈。事實上，在廣義雙曲分佈的各子類中，只有廣義拉普拉斯分佈和常態逆高斯分佈在摺積下是封閉的。

相關分佈

顧名思義，此分佈形式非常通用，是許多分佈的超類，其中包括學生 t-分佈、拉普拉斯分佈、雙曲分佈、常態逆高斯分佈和變異數-伽瑪分佈等。

• <math> \mathrm{GH}(-\frac{\nu}{2}, 0, 0, \sqrt{\nu}, \mu)\,</math> 是一個自由度為 <math>\nu</math> 的學生 t-分佈。
• <math> \mathrm{GH}(1, \alpha, \beta, \delta, \mu)\,</math> 是一個雙曲分佈。

• <math> \mathrm{GH}(-1/2, \alpha, \beta, \delta, \mu)\,</math> 是一個常態逆高斯分佈 (NIG)。
• <math> \mathrm{GH}(\text{?}, \text{?}, \text{?}, \text{?}, \text{?})\,</math> 常態逆卡方分佈
• <math> \mathrm{GH}(\text{?}, \text{?}, \text{?}, \text{?}, \text{?})\,</math> 常態逆伽瑪分佈 (NI)
• <math> \mathrm{GH}(\lambda, \alpha, \beta, 0, \mu)\,</math> 是一個變異數-伽瑪分佈。
• <math> \mathrm{GH}(1, 1, 0, 0, \mu)\,</math> 是一個位置參數為 <math>\mu</math>、尺度參數為 1 的拉普拉斯分佈。

應用

此分佈主要應用於需要對尾部行為有足夠機率描述的領域，它能透過其半厚尾特性來進行建模——這是常態分佈所不具備的性質。由於其半厚尾的特性，廣義雙曲分佈常被用於經濟學，尤其應用在金融市場建模與風險管理等領域。