均勻四維多胞體

在幾何學中，一個四維均勻多胞體（或均勻四維胞）是一種四維多胞體，其頂點遞移，且其胞為均勻多面體，面為正多邊形。

共有47種非柱體凸均勻四維多胞體。此外還有兩組無限的凸柱體形式，以及17種由凸均勻多面體構成的柱體。同時也存在數量未知的非凸星形形式。

發現歷史

• 凸正多胞體：
  • 1852年：路德維希·施萊夫利在其手稿《Theorie der vielfachen Kontinuität》中證明，四維空間中恰有6種正多胞體，而在五維或更高維度空間中僅有3種。
• 正星形四維多胞體（星形多面體胞及/或頂點圖）
  • 1852年：路德維希·施萊夫利亦發現了10種正星形四維多胞體中的4種，未計入胞或頂點圖為 {5/2,5} 和 {5,5/2} 的6種。
  • 1883年：埃德蒙·赫斯在其德文書籍《Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder, von dr. Edmund Hess. Mit sechzehn lithographierten tafeln.》中，完成了10種非凸正四維多胞體的列表。
• 凸半正多胞體：（在考克斯特提出均勻多胞體範疇前的各種定義）
  • 1900年：索羅爾德·戈塞特在其出版物《On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions》中，列舉了具有正胞（柏拉圖固體）的非柱體半正凸多胞體。在四維空間中，這包括截半五胞體、截半六百胞體和扭稜二十四胞體。
  • 1910年：艾麗西亞·布爾·斯托特在其出版物《Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings》中擴展了定義，允許使用阿基米德固體和柱體作為胞。此建構法列舉了45種半正四維多胞體，對應下方所列的非柱體形式。她的列表中遺漏了扭稜二十四胞體和大反稜柱。
  • 1911年：彼得·亨德里克·舒特出版了《Analytic treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes》，沿用了布爾·斯托特的符號，根據五胞體、八胞體/十六胞體和二十四胞體的對稱性列舉了凸均勻多胞體。
  • 1912年：E. L. 埃爾特在其出版物《The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces》中獨立擴展了戈塞特的列表，包含了具有一或兩種類型半正維面的多胞體。
• 凸均勻多胞體：
  • 1940年：H.S.M. 考克斯特在其出版物《Regular and Semi-Regular Polytopes》中系統性地擴展了此研究。
  • 凸均勻四維多胞體：
    • 1965年：約翰·霍頓·康威和邁克爾·蓋伊在其出版物《Four-Dimensional Archimedean Polytopes》中，透過電腦分析，最終完成了凸均勻四維多胞體的完整列表，僅增加了一種非威佐夫結構的凸四維多胞體——大反稜柱。
    • 1966年：諾曼·詹森在其導師考克斯特的指導下，完成了博士論文《The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs》，為四維及更高維度的均勻多胞體建立了基礎理論。
    • 1986年：考克斯特發表論文《Regular and Semi-Regular Polytopes II》，其中分析了獨特的扭稜二十四胞體結構，以及奇特的大反稜柱的對稱性。
    • 1998-2000年：諾曼·詹森系統性地命名了這些四維多胞體，並由喬治·奧利舍夫斯基在其線上索引枚舉中給出（此列表即以此為基礎）。詹森將四維多胞體命名為 polychora（四維胞），如同三維多胞體被稱為 polyhedra（多面體），此詞源於希臘字根 poly（「多」）和 choros（「房間」或「空間」）。均勻四維胞的名稱始於6種正四維胞，並根據考克斯特圖中的環加上前綴；截角 t0,1、截邊 t0,2、截面 t0,3，單環形式稱為截半，當第一個環位於第二或第三節點時，則加上雙、三等前綴。
    • 2004年：馬可·穆勒在其博士論文《Vierdimensionale Archimedische Polytope》中發表了一項證明，確認康威-蓋伊的集合是完整的。穆勒在他的列表中也重現了詹森的命名系統。
    • 2008年：約翰·H·康威出版了《The Symmetries of Things》，書中首次以印刷形式，按考克斯特群族列出了凸均勻四維多胞體及更高維度的多胞體，並為每個環狀考克斯特圖排列提供了通用的頂點圖——扭稜、大反稜柱和雙稜柱——他稱之為 proprisms（積柱體）。他使用自己的 ijk-ambo 命名法來標示超越截角和雙截角的索引環排列，而詹森的所有名稱皆收錄於該書索引中。
• 非正規均勻星形四維多胞體：（類似於非凸均勻多面體）
  • 1966年：詹森在其論文中描述了四維空間中的三種非凸均勻反稜柱。
  • 1990-2006年：在一項協作研究中，截至2005年，喬納森·鮑爾斯和喬治·奧利舍夫斯基共識別出1845種均勻四維多胞體（包括凸與非凸），並於2006年又發現了四種，總數達到1849種。此計數包括75種非柱體均勻多面體中的74種稜柱（因其為有限集——立方體柱因與超正方體重複而被排除），但不包括雙稜柱或反稜柱之稜柱的無限類別。
  • 2020-2023年：發現了342種新的四維胞，使得已知的均勻四維多胞體總數達到2191種。該列表尚未被證明是完整的。

正四維多胞體

正四維多胞體是均勻四維多胞體的一個子集，滿足額外的要求。正四維多胞體可用施萊夫利符號 {p,q,r} 表示，其胞的類型為 {p,q}，面的類型為 {p}，邊圖為 {r}，頂點圖為 {q,r}。

一個正四維多胞體 {p,q,r} 的存在，受限於作為其胞的正多面體 {p,q} 以及作為其頂點圖的 {q,r} 是否存在。

作為一個有限的四維多胞體，其存在取決於以下不等式：

\sin \left ( \frac{\pi}{p} \right ) \sin \left(\frac{\pi}{r}\right) > \cos\left(\frac{\pi}{q}\right).

16種正四維多胞體，其所有胞、面、邊和頂點皆全等：

• 6種凸正四維多胞體：五胞體 {3,3,3}、八胞體 {4,3,3}、十六胞體 {3,3,4}、二十四胞體 {3,4,3}、一百二十胞體 {5,3,3} 和六百胞體 {3,3,5}。
• 10種正星形四維多胞體：二十面體一百二十胞體 {3,5,5/2}、小星形一百二十胞體 {5/2,5,3}、大一百二十胞體 {5,5/2,5}、宏一百二十胞體 {5,3,5/2}、大星形一百二十胞體 {5/2,3,5}、宏星形一百二十胞體 {5/2,5,5/2}、大宏一百二十胞體 {5,5/2,3}、大二十面體一百二十胞體 {3,5/2,5}、宏六百胞體 {3,3,5/2} 和大宏星形一百二十胞體 {5/2,3,3}。

凸均勻四維多胞體

四維空間中均勻四維多胞體的對稱性

四維空間中有5個基本的鏡射對稱點群族：A4 = 、B4 = 、D4 = 、F4 = 、H4 = 。此外還有3個柱體群 A3A1 = 、B3A1 = 、H3A1 = ，以及雙稜柱群：I2(p)×I2(q) = 。每個群由一個被鏡面包圍的古爾薩四面體基本域定義。

每個反射對稱的均勻四維多胞體可透過威佐夫結構，在四維空間中的一個或多個反射點群中建構，並以考克斯特圖中節點的環狀排列來表示。鏡射超平面可以分組，如彩色節點所示，由偶數分支隔開。形如 [a,b,a] 的對稱群具有擴展對稱性 a,b,a，使對稱階數加倍。這包括 [3,3,3]、[3,4,3] 和 [p,2,p]。這些群中具有對稱環的均勻多胞體也包含此擴展對稱性。

如果某個均勻多胞體中某特定顏色的所有鏡面都未被圈選（非活性），則可透過移除所有非活性的鏡面，以較低的對稱性建構之。如果某特定顏色的所有節點都被圈選（活性），則可透過交錯操作生成一個具有手性對稱的新四維多胞體，以「空心」圓圈節點表示，但其幾何結構通常無法調整以產生均勻解。

枚舉

共有64種凸均勻四維多胞體，包括6種凸正四維多胞體，但不包括雙稜柱和反稜柱稜柱的無限集合。

• 5種是基於柏拉圖固體的多面體柱（其中1種與正多胞體重疊，因為立方超柱體即為超正方體）
• 13種是基於阿基米德固體的多面體柱
• 9種屬於自對偶的正 A4 [3,3,3] 群（五胞體）族。
• 9種屬於自對偶的正 F4 [3,4,3] 群（二十四胞體）族。（不包括扭稜二十四胞體）
• 15種屬於正 B4 [3,3,4] 群（超正方體/十六胞體）族（其中3種與二十四胞體族重疊）
• 15種屬於正 H4 [3,3,5] 群（一百二十胞體/六百胞體）族。
• 1種特殊的扭稜形式屬於 [3,4,3] 群（二十四胞體）族。
• 1種特殊的非威佐夫結構四維多胞體，即大反稜柱。
• 總計： 68 − 4 = 64

這64種均勻四維多胞體由喬治·奧利舍夫斯基索引如下。重複的對稱形式以括號標示。

除了上述64種之外，還有2個無限的柱體集合，可生成所有其餘的凸形式：

• 均勻反稜柱稜柱集合 - sr{p,2}×{} - 由兩個反稜柱構成的多面體柱。
• 均勻雙稜柱集合 - {p}×{q} - 兩個多邊形的笛卡兒積。

A4 族

五胞體具有二倍五胞體 [3,3,3] 對稱性，階數為120，與五個元素的排列同構，因為所有頂點對之間的關係都相同。

維面（胞）已給出，並根據其在考克斯特圖中的位置，透過移除指定節點進行分組。

標有星號 * 的三種均勻四維多胞體形式具有更高的擴展五胞體對稱性，階數為240，因為對應於底層五胞體任一元素的元素，可以與其對偶的任一元素互換。存在一個小指數子群 [3,3,3]+，階數為60，或其加倍形式 +，階數為120，定義了一個全扭稜五胞體，為完整性起見列出，但它並非均勻多胞體。

B4 族

此族具有二倍十六胞體對稱性 [4,3,3]，階數為 24×16=384：四個軸的 4!=24 種排列，以及每個軸的 24=16 種反射。存在3個小指數子群，其中前兩個生成了在其他族中亦重複出現的均勻四維多胞體，分別為 [1+,4,3,3]、[4,(3,3)+] 和 [4,3,3]+，階數均為192。

十六胞體截角體

(*) 正如截半正四面體產生正八面體，截半十六胞體產生二十四胞體，即以下族中的正則成員。

為完整性起見，扭稜二十四胞體在此族中重複列出。它是截邊截角十六胞體或截角二十四胞體的交錯體，具有半對稱群 [(3,3)+,4]。截角八面體胞變為二十面體。立方體變為四面體，並在移除頂點所產生的空隙中生成96個新的四面體。

F4 族

此族具有二倍二十四胞體對稱性 [3,4,3]，階數為 24×48=1152：對應24個胞，每個胞有48種八面體的對稱性。存在3個小指數子群，其中前兩個同構對生成了在其他族中亦重複出現的均勻四維多胞體，分別為 [3+,4,3]、[3,4,3+] 和 [3,4,3]+，階數均為576。

(†) 此處的扭稜二十四胞體，雖然名稱如此，但與扭稜立方體並非類比；它是由截角二十四胞體的交錯操作衍生而來。其對稱數僅為576（離子性減缺二十四胞體群，[3+,4,3]）。

與五胞體一樣，二十四胞體是自對偶的，因此以下三種形式的對稱性加倍，使其總數達到2304（擴展二十四胞體對稱性）。

H4 族

此族具有二倍六百胞體對稱性 [5,3,3]，階數為 120×120=24×600=14400：對應120個十二面體，每個有120種對稱性，或對應600個四面體，每個有24種對稱性。存在一個小指數子群 [5,3,3]+，階數均為7200。

D4 族

此半超正方體族 [31,1,1] 未引入新的均勻四維多胞體，但重複這些替代建構是值得的。此族的階數為 12×16=192：四個軸的 4!/2=12 種交錯排列，以及每個軸的 24=16 種反射。存在一個生成均勻四維多胞體的小指數子群 [31,1,1]+，階數為96。

當3個分岔分支節點被相同地圈選時，對稱性可增加6倍，成為 [3[31,1,1]] = [3,4,3]，因此這些多胞體是從二十四胞體族重複而來的。

這裡再次出現扭稜二十四胞體，此次的對稱群為 [31,1,1]+，代表截角二十四胞體的交錯截角，在被刪除頂點的位置上產生了96個新的四面體。與其在先前群體中作為部分扭稜四維多胞體出現不同，只有在此對稱群中，它才與克卜勒扭稜體（即扭稜立方體和扭稜十二面體）具有完全的類比性。

大反稜柱

存在一種非威佐夫結構的均勻凸四維多胞體，稱為大反稜柱，由20個五角反稜柱形成兩個相互垂直的環，並由300個四面體連接。 它大致類似於三維反稜柱，後者由兩個平行的多邊形和一圈三角形連接而成。然而，與之不同的是，大反稜柱並非均勻多胞體無限族的一員。

其對稱性為離子性減缺考克斯特群 10,2+,10，階數為400。

柱體均勻四維多胞體

柱體多胞體是兩個較低維度多胞體的笛卡兒積；常見的例子是三維稜柱，它們是一個多邊形和一條線段的乘積。柱體均勻四維多胞體包含兩個無限族：

• 多面體柱：一條線段和一個均勻多面體的乘積。 此族是無限的，因為它包括基於三維稜柱和反稜柱建構的稜柱。
• 雙稜柱：兩個多邊形的乘積。

凸多面體柱

最明顯的柱體四維多胞體族是多面體柱，即多面體與線段的乘積。這種四維多胞體的胞是兩個位於平行超平面中的相同均勻多面體（底胞）和一層連接它們的稜柱（側胞）。此族包括75種非柱體均勻多面體的稜柱（其中18種是凸的；其中之一，立方體-稜柱，已作為超正方體列於上方）。

存在18種凸多面體柱，由5種柏拉圖固體和13種阿基米德固體，以及三維稜柱和反稜柱的無限族生成。一個多面體柱的對稱數是其底多面體的兩倍。

四面體柱： A3 × A1

此柱體四面體對稱性為 [3,3,2]，階數為48。存在兩個指數為2的子群，[(3,3)+,2] 和 [3,3,2]+，但後者不生成均勻四維多胞體。

八面體柱： B3 × A1

此柱體八面體族對稱性為 [4,3,2]，階數為96。存在6個指數為2，階數為48的子群，在下方的交錯四維多胞體中表示。對稱性為 [(4,3)+,2]、[1+,4,3,2]、[4,3,2+]、[4,3+,2]、[4,(3,2)+] 和 [4,3,2]+。

二十面體柱： H3 × A1

此柱體二十面體對稱性為 [5,3,2]，階數為240。存在兩個指數為2的子群，[(5,3)+,2] 和 [5,3,2]+，但後者不生成均勻四維胞。

雙稜柱： [p] × [q]

第二個是均勻雙稜柱的無限族，是兩個正多邊形的乘積。一個雙稜柱的考克斯特-鄧肯圖是 。其頂點圖是一個鍥形四面體，。

此族與第一族有重疊：當兩個「因數」多邊形之一是正方形時，其乘積等同於以一個三維稜柱為底的超稜柱。一個由 p-邊形和 q-邊形構成的雙稜柱（「p,q-雙稜柱」）的對稱數，若 p≠q 則為 4pq；若兩個因數都是 p-邊形，則對稱數為 8p2。超正方體也可被視為一個 4,4-雙稜柱。

{p}×{q} 的擴展 f-向量是 (p,p,1)*(q,q,1) = (pq,2pq,pq+p+q,p+q)。

• 胞： p 個 q-邊形稜柱， q 個 p-邊形稜柱
• 面： pq 個正方形， p 個 q-邊形， q 個 p-邊形
• 邊： 2pq
• 頂點： pq

四維空間中沒有與三維反稜柱無限族相對應的均勻類比。

p-q 雙稜柱的無限集 - - p 個 q-邊形稜柱， q 個 p-邊形稜柱：

交錯是可能的。 = 給出了雙反稜柱族，但它們通常無法構成均勻多胞體。 p=q=2 是唯一可以構成均勻多胞體的凸情況，產生了正十六胞體。p=5, q=5/3 是唯一可以構成均勻多胞體的非凸情況，產生了所謂的大雙反稜柱。 給出了 p-2q-邊形稜柱反稜柱形體（2p-4q 雙稜柱的邊交錯），但在任何情況下都無法構成均勻多胞體。

多邊形稜柱之稜柱： [p] × [ ] × [ ]

均勻稜柱之稜柱的無限集與 4-p 雙稜柱重疊： (p≥3) - - p 個立方體和 4 個 p-邊形稜柱 - （皆與 4-p 雙稜柱相同）此系列中的第二個多胞體是正超正方體 {4}×{4} 的一個較低對稱性形式。

多邊形反稜柱之稜柱： [p] × [ ] × [ ]

均勻反稜柱之稜柱的無限集由兩個平行的均勻反稜柱構成）： (p≥2) - - 2 個 p-邊形反稜柱，由 2 個 p-邊形稜柱和 2p 個三角稜柱連接。

一個 p-邊形反稜柱之稜柱有 4p 個三角形面、4p 個正方形面和 4 個 p-邊形面。它有 10p 條邊和 4p 個頂點。

非均勻交錯體

考克斯特證明，對於所有環皆交錯（以空心圓圈節點表示）的秩4考克斯特群，僅有兩個均勻解。第一個是 ，s{21,1,1}，它代表半超正方體 ，h{4,3,3}（對稱性 [1+,4,3,3] = [31,1,1]，階數192）的一個指數為24的子群（對稱性 [2,2,2]+，階數8）形式。第二個是 ，s{31,1,1}，它是扭稜二十四胞體 ，s{3,4,3}（對稱性 [3+,4,3]，階數576）的一個指數為6的子群（對稱性 [31,1,1]+，階數96）形式。

其他交錯體，例如 ，作為全截超正方體 的交錯體，無法構成均勻多胞體，因為求解等邊長度的方程通常是超定的（有六個方程但只有四個變數）。這種非均勻的交錯圖形可以透過移除全環圖形頂點的兩半集合之一來建構為頂點遞移的四維多胞體，但其邊長將不相等。如同均勻交錯體，它們的對稱性將是均勻圖形的一半，例如 [4,3,3]+，階數192，是交錯全截超正方體的對稱性。

帶有交錯的威佐夫結構會產生頂點遞移的圖形，這些圖形可以使邊等長，但並非均勻，因為交錯的間隙（圍繞被移除的頂點）會產生非正則或半正則的胞。對這類圖形的一個建議名稱是鱗形多胞體。此類別允許一部分詹森固體作為胞，例如三角帳塔。

詹森固體中的每個頂點構型都必須存在於頂點圖中。例如，一個四角錐有兩種頂點構型：底部的 3.3.4，和頂點的 3.3.3.3。

下方給出了四種凸等邊情況的展開圖和頂點圖，以及圍繞每個頂點的胞列表。

46種非柱體威佐夫結構均勻四維胞的幾何推導

46種威佐夫結構四維多胞體包括六種凸正四維多胞體。其餘四十種可由正四維胞透過保留其大部分或全部對稱性的幾何操作推導而來，因此可按其共同的對稱群進行分類。

從正四維多胞體推導出40種均勻四維多胞體的幾何操作是截角操作。一個四維多胞體可以在頂點、邊或面上進行截角，從而增加與這些元素對應的胞，如下方表格的各列所示。

考克斯特-鄧肯圖將威佐夫萬花筒的四個鏡面顯示為節點，節點之間的邊標有整數，表示鏡面之間的夾角（π/n 弧度或 180/n 度）。圈選的節點顯示了每種形式中哪些鏡面是活性的；一個鏡面對於不位於其上的頂點是活性的。

另請參閱凸均勻堆砌，其中一些展示了這些操作應用於正立方體堆砌的情況。

如果兩個多胞體互為對偶（例如超正方體和十六胞體，或一百二十胞體和六百胞體），那麼對其中之一進行雙截角、截面或全截操作，會產生與對另一者進行相同操作相同的圖形。因此，當表格中僅出現分詞時，應理解為適用於任一母體。

按擴展對稱性的建構摘要

由 A4、B4、F4、H4 對稱性建構的46種均勻四維胞，在此表中按其完整的擴展對稱性和考克斯特圖給出。D4 對稱性也包括在內，儘管它只產生重複項。交錯體按其手性對稱性分組。所有交錯體均已給出，儘管扭稜二十四胞體及其來自不同族的三種建構是唯一均勻的。括號中的計數表示重複或非均勻。考克斯特圖以下標索引1至46標示。3-3和4-4雙稜柱族也包括在內，後者因其與 B4 族的關係而列入。

均勻星形四維胞

除了前述無限的雙稜柱和反稜柱稜柱族（其中有無限多個非凸成員）之外，還發現了許多均勻星形四維胞。1852年，路德維希·施萊夫利發現了四種正星形四維胞：{5,3,5/2}、{5/2,3,5}、{3,3,5/2} 和 {5/2,3,3}。1883年，埃德蒙·赫斯找到了另外六種：{3,5,5/2}、{5/2,5,3}、{5,5/2,5}、{5/2,5,5/2}、{5,5/2,3} 和 {3,5/2,5}。諾曼·詹森在其1966年的博士論文中描述了三種類似均勻反稜柱的星形四維胞：它們基於與正十二面體共享邊和頂點的三種二重三角多面體。此後，其他研究者，包括喬納森·鮑爾斯和喬治·奧利舍夫斯基，又發現了更多，使得目前已知的均勻星形四維胞總數達到2127種（不包括基於星形多邊形的雙稜柱無限集）。目前尚無證明該集合完整性的證據。

參見

• 四維空間中的有限正規扭歪多面體
• 凸均勻堆砌 - 歐幾里得三維空間中相關的無限四維多胞體。
• 雙曲空間中的凸均勻堆砌 - 雙曲三維空間中相關的無限四維多胞體。
• 擬緊均勻堆砌

外部連結

• 凸均勻四維多胞體
  • Uniform, convex polytopes in four dimensions, Marco Möller . 包括這些圖形的替代名稱，以及來自 Jonathan Bowers、George Olshevsky 和 Norman Johnson 的名稱。
  • Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview
  • Java3D Applets with sources
• 非凸均勻四維多胞體
  • Uniform polychora by Jonathan Bowers
  • Stella4D Stella (軟體) 可產生已知均勻四維胞的互動視圖，包括64種凸形式和無限柱體族。

• 4D-Polytopes and Their Dual Polytopes of the Coxeter Group W(A4) Represented by Quaternions International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, Vol. 9, No. 4 (2012) Mehmet Koca, Nazife Ozdes Koca, Mudhahir Al-Ajmi (2012) [1]