單模格

在幾何學與數學群論中，么模格（unimodular lattice）是指行列式為 1 或 −1 的整格（integral lattice）。對於一個 n 維歐幾里得空間中的格，這等同於要求該格的任何基本域之體積為 1。

E₈ 格與李奇格是兩個著名的例子。

定義

格是一個具有對稱雙線性形式 (·, ·) 的有限秩自由阿貝爾群。
如果 (·,·) 的取值均為整數，則該格為整格。
格的維度與其（作為 Z-模的）秩相同。
格元素 a 的範數為 (a, a)。
如果所有非零元素的範數皆為正，則該格為正定格。
格的行列式是其格拉姆矩陣的行列式，該矩陣的元素為 (aᵢ, aⱼ)，其中元素 aᵢ 構成格的一組基。
若整格的行列式為 1 或 −1，則其為么模格。
如果所有範數均為偶數，則該么模格為偶格或 II 型格；反之則為奇格或 I 型格。
正定格的最小值是指其最小的非零範數。
格通常嵌入到一個具有對稱雙線性形式的實向量空間中。如果其向量空間是正定的、勞侖茲的等等，則該格也是如此。
格的符號差即為其向量空間上該形式的符號差。

範例

么模格的三個最重要例子是：

一維的 Z 格（所有整數的集合）。
E₈ 格，一個 8 維偶格，
李奇格，一個沒有根的 24 維偶么模格。

性質

一個整格是么模格，若且唯若其對偶格為整格。么模格與其對偶格相等，因此么模格也稱為自對偶格。

對於一對非負整數 (m,n)，符號差為 (m,n) 的偶么模格存在，若且唯若 m−n 可被 8 整除，而符號差為 (m,n) 的奇么模格則恆存在。特別是，偶正定么模格僅存在於維度能被 8 整除的空間中。所有允許符號差的例子分別由 II_m,n 和 I_m,n 構造給出。

么模正定格的 θ 函數是一種模形式，其權重為秩的一半。如果格是偶格，該形式的權為 1；如果格是奇格，該形式具有 Γ₀(4) 結構（即權為 4 的模形式）。由於模形式空間的維度限制，偶么模格中非零向量的最小範數不大於 ⎣n/24⎦ + 1。達到此界限的偶么模格稱為極端格（extremal）。已知的極端偶么模格存在於維度最高達 80 的相關空間中，且已證明其在維度超過 163,264 時不存在。

分類

對於不定格，其分類很容易描述。將 m + n 維向量空間 R^m+n 記為 R^m,n，其上 (a₁, ..., a_m+n) 與 (b₁, ..., b_m+n) 的內積由下式給出：

<math> a_1 b_1 + \cdots + a_m b_m - a_{m+1} b_{m+1} - \cdots - a_{m+n} b_{m+n}. \, </math>

在 R^m,n 中，在同構意義下，存在唯一的奇不定么模格，記為

I_m,n,

其由 R^m,n 中所有分量 aᵢ 皆為整數的向量 (a₁,...,a_m+n) 所構成。

不存在不定偶么模格，除非

m − n 可被 8 整除，

在此情況下，在同構意義下存在唯一的例子，記為

II_m,n。

其由 R^m,n 中所有滿足以下條件的向量 (a₁,...,a_m+n) 所構成：所有分量 aᵢ 或皆為整數，或皆為整數加 1/2，且其總和為偶數。II₈,₀ 格與 E₈ 格相同。

正定么模格已被分類至 25 維。在小於 8 的每個維度 n 中，存在唯一的例子 I_n,0；在 8 維中，存在兩個例子（I₈,₀ 和 II₈,₀）。格的數量在 25 維以下增長緩和（25 維時有 665 個），但超過 25 維後，根據史密斯-閔可夫斯基-西格爾質量公式，其數量隨維度迅速增加；例如，在 32 維中，數量超過 80,000,000,000,000,000。

在某種意義上，9 維以下的么模格由 E₈ 格所控制，而 25 維以下的么模格則由李奇格所控制，這解釋了它們在這些維度中異常良好的性質。例如，25 維以下么模格中範數為 2 的向量所構成的鄧金圖，可以自然地對應於李奇格中的一種向量組態。數量在 25 維之後的急遽增加，可能歸因於這些格不再受李奇格控制。

偶正定么模格僅存在於維度能被 8 整除的空間中。在 8 維中有 1 個（E₈ 格），在 16 維中有 2 個（E₈² 和 II₁₆,₀），在 24 維中有 24 個，稱為尼邁爾格（Niemeier lattices）（例如：李奇格、II₂₄,₀、II₁₆,₀ + II₈,₀、II₈,₀³）。超過 24 維後，數量迅速增加；在 32 維中，數量超過十億個。

沒有根（範數為 1 或 2 的向量）的么模格已被分類至 28 維。在低於 23 維的空間中不存在（零格除外！）。在 23 維中有 1 個（稱為短李奇格），在 24 維中有 2 個（李奇格和奇李奇格），且研究顯示在 25、26、27、28 維中分別有 0、1、3、38 個。在此之後，數量迅速增加；在 29 維中至少有 8000 個。在足夠高的維度中，大多數么模格沒有根。

在低於 32 維的空間中，唯一沒有根的非零偶正定么模格是 24 維的李奇格。在 32 維中，有超過一千萬個例子，而在 32 維以上，數量則迅速增加。

下表來自[某處]，給出了不同維度中偶或奇么模格的數量（或下界），並顯示了從 24 維後不久開始的急遽增長。

超過 32 維後，數量增長得更快。

應用

閉單連通定向拓撲 4-流形的二次上同調群是一個么模格。邁克爾·弗里德曼證明，此格幾乎決定了該流形：對應每個偶么模格，存在唯一的此類流形；對應每個奇么模格，則存在正好兩個。特別是，若取該格為 0 格，這便能推導出 4 維拓撲流形的龐加萊猜想。唐納森定理指出，如果該流形是光滑的且其格為正定格，則該格必定是 Z 的若干個複本之和，因此這些流形中大多數沒有光滑結構。其中一個例子是 <math>E_8</math> 流形。

參考資料

外部連結

Gabriele Nebe 與 Neil Sloane 的么模格目錄。

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