分岔圖

在數學中，特別是在動力系統中，分岔圖（bifurcation diagram）顯示了系統中漸進達到或趨近的值（不動點、週期軌道或混沌吸引子），並將其視為系統中分岔參數的函數。通常，穩定值會以實線表示，不穩定值則以虛線表示，不過不穩定點時常會被省略。分岔圖能將分岔理論視覺化。在離散時間動力系統的脈絡中，這種圖也稱為軌道圖（orbit diagram）。

邏輯斯蒂映射

一個例子是邏輯斯蒂映射（logistic map）的分岔圖： <math display="block"> x_{n+1}=rx_n(1-x_n). </math>

分岔參數 r 顯示於圖的水平軸上，而垂直軸則顯示了從幾乎所有初始條件出發，邏輯斯蒂函數漸進達到的值集合。

分岔圖顯示了穩定軌道的週期從 1 分岔為 2，再分岔為 4、8 等等。這些分岔點中的每一個都是一個倍週期分岔（period-doubling bifurcation）。 發生分岔的 r 值之間，連續區間長度的比率會收斂至第一個費根鮑姆常數。

該圖也顯示了從 3 到 6 到 12 等，從 5 到 10 到 20 等等的週期倍增現象。

分岔集中的對稱性破缺

在一個動力系統中，例如 <math display="block"> \ddot {x} + f(x;\mu) + \varepsilon g(x) = 0,</math> 當 <math> \mu \neq 0 </math> 時，此系統是結構穩定的。若繪製其分岔圖，將 <math> \mu </math> 視為分岔參數，但對不同的 <math> \varepsilon </math> 值作圖，則 <math> \varepsilon = 0</math> 的情況即為對稱叉式分岔（symmetric pitchfork bifurcation）。當 <math> \varepsilon \neq 0 </math> 時，我們稱之為一個對稱性破缺的叉式分岔。右側的動畫展示了此一現象。

應用

考慮一個描述某物理量的微分方程系統，具體來說，可以以下列三個例子之一來表示：1. 無阻尼且無摩擦的擺的位置與速度，2. 神經元隨時間變化的膜電位，以及 3. 患者血液中病毒的平均濃度。這些例子的微分方程包含了可能影響方程式輸出的*參數*。改變擺的長度會影響其振盪頻率，改變注入神經元的電流量值可能會使膜電位從靜息狀態轉為發放狀態，而透過精準定時的治療，血液中的長期病毒載量可能會下降。

一般而言，研究人員可能會試圖量化，當一個參數改變時，一個微分方程系統的長期（漸進）行為會如何變化。在數學的動力系統分支中，分岔圖透過展示系統的不動點、週期軌道或混沌吸引子如何隨分岔參數的變化而改變，來量化這些變化。分岔圖即是用於將這些變化視覺化。

參見

• 分岔記憶
• 混沌理論
• 分岔圖骨架
• 費根鮑姆常數
• 沙可夫斯基定理

外部連結

• The Logistic Map and Chaos by Elmer G. Wiens, egwald.ca
• Wikiversity: Discrete-time dynamical system orbit diagram

Category:混沌理論 Category:分岔理論

de:Bifurkationsdiagramm