八元數代數

在數學中，一個體 F 上的**八元數代數**或**凱萊代數**是指一個在 F 上維度為 8 的合成代數。換句話說，它是在 F 上的一個 8 維有單位元的非結合代數 A，其上帶有一個非退化二次型 N（稱為**範數型**），使得對於 A 中所有的 x 和 y，皆有

N(xy) = N(x)N(y)

八元數代數最著名的例子是經典的八元數，也就是實數體 R 上的八元數代數。分裂八元數也在 R 上構成一個八元數代數。在 R-代數同構的意義下，這是在實數上僅有的八元數代數。雙八元數代數則是複數體 C 上的八元數代數。

當且僅當範數型 N 是非等向性的，該八元數代數是一個除法代數。分裂八元數代數是指其二次型 N 是等向性的代數（亦即，存在一個非零向量 x 使得 N(x) = 0）。在 F-代數同構的意義下，任何體 F 上都存在一個唯一的分裂八元數代數。當 F 為代數閉體或有限體時，這是 F 上僅有的八元數代數。

八元數代數總是非結合的。然而，它們是交錯代數，而交錯性是結合性的一種弱化形式。此外，莫芳恆等式在任何八元數代數中都成立。由此可知，任何八元數代數中的可逆元素構成一個莫芳圈，單位範數的元素亦然。

倫納德·迪克森在其著作《Algebren und ihre Zahlentheorie》（1927年）（第264頁）中描述了在任意體 k 上的一般八元數代數的構造，馬克斯·佐恩後來重複了此法。其乘積取決於從 k 中選取的一個 γ。給定來自 k 上四元數代數的 q 和 Q，八元數可寫為 q + Qe。另一個八元數可寫為 r + Re。若以 * 表示四元數代數中的共軛，則它們的乘積為

(q + Qe)(r + Re) = (qr + \gamma R^* Q) + (Rq + Q r^* )e .

佐恩用德語對這種凱萊-迪克森構造的描述，促成了這個以人名命名的詞彙被持續用來指稱合成代數的構造法。

科爾·弗里已提出，八元數代數可用於嘗試整合標準模型的各個組成部分。

分類

阿道夫·赫維茲的一個定理指出，範數型的 F-同構類與八元數 F-代數的同構類之間存在一一對應。此外，所有可能的範數型正好是 F 上的普菲斯特3-型。

因為任何兩個八元數 F-代數在 F 的代數閉包上都會變得同構，所以可以應用非交換伽羅瓦上同調的觀點。具體來說，利用分裂八元數的自同構群是分裂代數群 G₂ 這一事實，可以看出八元數 F-代數的同構類與 F 上的 G₂-扭子同構類之間的對應關係。這些同構類構成了非交換伽羅瓦上同調集 H^1(F, G_2) 。

外部連結

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