斷裂場

在抽象代數中，一個給定體 K 上的多項式 P(X) 的斷裂體，是由 P(X) 的一個根 a 所生成之 K 的體擴張。

例如，若 K=\mathbb Q 且 P(X)=X^3-2，則 \mathbb Q[\sqrt[3]2] 是 P(X) 的一個斷裂體。

此概念主要在 P(X) 於 K 上不可約時才有意義。在該情況下，所有 P(X) 在 K 上的斷裂體，都與 K_P=K[X]/(P(X)) 非標準同構：若 L=K[a]，其中 a 是 P(X) 的一個根，則由 f(k)=k（對所有 k\in K）與 f(X\mod P)=a 所定義的環同態 f 是個同構。此外，在此情況下，擴張的次數等於 P 的次數。

一個多項式的斷裂體不一定包含該多項式的所有根：在上述例子中，體 \mathbb Q[\sqrt[3]2] 就不包含 P(X) 的另外兩個（複數）根（亦即 \omega\sqrt[3]2 與 \omega^2\sqrt[3]2，其中 \omega 是本原單位立方根）。關於包含多項式所有根的體，請參見分裂體。

範例

X^2+1 在 \mathbb R 上的一個斷裂體是 \mathbb C。它同時也是一個分裂體。

X^2+1 在 \mathbb F_3 上的斷裂體是 \mathbb F_9，因為 \mathbb F_3 中沒有任何元素的平方為 -1（且 \mathbb F_3 的所有二次擴張皆與 \mathbb F_9 同構）。