普呂克嵌入

在數學中，普呂克映射將格拉斯曼流形 <math>\mathrm{Gr}(k,V)</math>（其元素為n維實或複向量空間V的k維子空間）嵌入一個射影空間中，從而將其實現為一個射影代數簇。更準確地說，普呂克映射將 <math>\mathrm{Gr}(k,V)</math> 嵌入到V的k階外冪的射影化 <math>\mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V)</math> 中。其像為代數的，由若干二次曲面交集而成，這些二次曲面由（見下文）所定義。

普呂克嵌入最初由尤利烏斯·普呂克在 <math>k=2, n=4</math> 的情況下定義，作為描述三維空間中直線的一種方法（這些直線作為實射影空間中的射影線，對應於四維向量空間中的二維子空間）。該嵌入的像為 RP5 中的克萊因二次曲面。

赫爾曼·格拉斯曼將普呂克的嵌入推廣到任意的k和n。格拉斯曼流形 <math> \mathrm{Gr}(k,V)</math> 在普呂克嵌入下的像，其齊次座標稱為普呂克座標。這些座標是相對於外空間 <math>{\textstyle\bigwedge}^k V </math> 中的基底，而該基底又對應於 <math>V = K^n</math>（其中 <math>K</math> 為基域）中的自然基底。

定義

將域 <math>K</math> 上的 <math>n</math> 維向量空間記為 <math>V= K^n</math>，並將 <math>V</math> 的 <math>k</math> 維子空間的格拉斯曼流形記為 <math> \mathrm{Gr}(k, V)</math>，則普呂克嵌入是如下定義的映射 ι：

<math>\begin{array}{cccc}

\iota : \ & \mathrm{Gr}(k, V) & \longrightarrow & \mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V),\\

&  {W}:=\operatorname{Span}( w_1, \ldots, w_k ) & \longmapsto & [ w_1 \wedge \cdots \wedge w_k ], 
\end{array}</math>

其中 <math>(w_1, \dots , w_k)</math> 是元素 <math> {W}\in \mathrm{Gr}(k, V)</math> 的一組基底，而 <math> [ w_1 \wedge \cdots \wedge w_k ]</math> 是 <math>V</math> 的 <math>k</math> 階外冪 <math> {\textstyle\bigwedge}^k V </math> 中的元素 <math> w_1 \wedge \cdots \wedge w_k </math> 的射影等價類。

這是將格拉斯曼流形嵌入到射影化 <math>\mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V)</math> 中的一個嵌入。其像可以完全刻劃為若干個二次曲面（即普呂克二次曲面，見下文）的交集，這些二次曲面由普呂克座標（見下文）上的齊次二次關係式表示，而這些關係式源於線性代數。

括號環表現為 <math>{\textstyle\bigwedge}^k V </math> 上的多項式函數環。

普呂克關係式

普呂克嵌入下的像滿足一組簡單的齊次二次關係式，通常稱為普呂克關係式或格拉斯曼–普呂克關係式，這些關係式定義了 <math> \mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V) </math> 中若干二次曲面的交集。這表明格拉斯曼流形作為一個代數子簇嵌入到 <math>\mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V)</math> 中，並提供了另一種建構格拉斯曼流形的方法。為陳述格拉斯曼–普呂克關係式，令 <math>{W}\in \mathrm{Gr}(k, V) </math> 為由基底（以列向量 <math>w_1, \dots, w_k</math> 表示）所張成的 <math>k</math> 維子空間。設 <math> [W] </math> 為一個 <math> n \times k</math> 矩陣，其列為 <math>w_1, \dots, w_k</math>；則 <math>W</math> 相對於另一組基底的矩陣為 <math>[W]A</math>，其中 <math>A</math> 為任意一個可逆的 <math> k \times k</math> 矩陣。對於任意 <math> k </math> 個整數的有序序列 <math>1\le i_1 < \cdots < i_k \le n </math>，令 <math> \Delta_{i_1, \dots , i_k} </math> 為 <math> [W] </math> 中由第 <math>(i_1, \dots i_k)</math> 行所構成的 <math>k \times k</math> 子矩陣的行列式；此行列式稱為一個子式。則 <math>\{ \Delta_{i_1, \dots , i_k}\} </math> 即為元素 <math>{W}\in \mathrm{Gr}(k, V) </math> 的普呂克座標，也就是像 <math>\iota({W})\in \mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V)</math> 相對於 <math> {\textstyle\bigwedge}^k V </math> 的標準基底 <math>\{e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}\}</math> 的線性座標。改變 <math> W </math> 的基底只會使普呂克座標乘以一個非零因子 <math>\det(A)</math>（即基底變換矩陣的行列式），從而得到 <math> \mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V) </math> 中的同一個點。

對於任意兩個正整數的有序序列：

其中 <math> 1 \le i_l, j_m \le n </math>，以下齊次方程式成立，並確定 <math>W</math> 在普呂克映射下的像：<math>\sum_{l=1}^{k+1} (-1)^l \Delta_{i_1, \dots , i_{k-1}, j_l} \Delta_{j_1, \dots , \hat{j}_l, \dots j_{k+1}}=0, </math>其中 <math> j_1, \dots , \hat{j}_l, \dots j_{k+1} </math> 表示省略 <math> j_l </math> 這一項。這些就是普呂克關係式。

當 k=2 與 n=4 時，我們得到 <math>\mathrm{Gr}(2, V)</math>，這是不為射影空間的最簡單的格拉斯曼流形，而上述關係式可簡化為單一方程式。將 <math> {\textstyle\bigwedge}^2 V</math> 的座標記為

<math> \Delta_{ij} = -\Delta_{ji}, \quad 1\le i,j \le 4,</math>

則 <math>\mathrm{Gr}(2, V)</math> 在普呂克映射下的像由以下單一方程式定義：

<math>\Delta_{12}\Delta_{34} - \Delta_{13}\Delta_{24} + \Delta_{14}\Delta_{23}=0.</math>

一般而言，定義普呂克嵌入的像需要更多方程式，如中所示，但這些方程式通常並非代數獨立的。代數獨立關係式的最大數量（在扎里斯基開集上）由 <math>\mathbb{P}({\textstyle\bigwedge}^k V)</math> 與 <math>\mathrm{Gr}(k, V)</math> 之間的維度差給出，其值為 <math> \tbinom{n}{k} - k(n-k) -1. </math>。

參考資料

延伸閱讀

Category:代數幾何 Category:微分幾何