沖和法

合劑法（Alligation）是一種古老而實用的算術方法，用於解決與成分混合物相關的算術問題。合劑法有兩種類型：正和法（alligation medial），用於在給定成分量的情況下求出混合物的量；以及反和法（alligation alternate），用於求出製作給定量的混合物所需各成分的量。正和法僅僅是求加權平均數的問題。反和法更為複雜，涉及將成分組織成高低配對，然後進行權衡。當代數解法（例如，使用聯立方程式）不可行時（例如，有三個變數但只有兩個方程式），反和法能提供答案。請注意，在這類問題中，可能有多個可行解。

合劑法還有另外兩種變體：部分合劑法（Alligation Partial）和整體合劑法（Alligation Total）（參見約翰·金的《算術書》1795年版，其中包含了解題範例）。儘管學校已不再教授此技術，但藥房仍在使用它來快速計算劑量。

範例

正和法

假設您用 1/2 的可口可樂、1/4 的雪碧和 1/4 的橘子汽水調製一杯雞尾酒。可口可樂每公升含糖120克，雪碧每公升含糖100克，橘子汽水每公升含糖150克。這杯飲料的含糖量是多少？這是一個正和法的例子，因為您想在給定各成分含糖量的情況下，求出混合物的含糖量。解法就是按成分計算加權平均值：

{1\over2}\times 120 + {1\over4}\times 100 + {1\over4}\times 150 = 122.5 克/公升

反和法

假設您喜歡喝 1% 的牛奶，但手邊只有 3% 的全脂牛奶和 ½% 的低脂牛奶。您應該如何混合這兩種牛奶，才能調製出一杯8盎司的 1% 牛奶？這是一個反和法的例子，因為您想求出混合兩種成分以形成具有特定脂肪含量混合物所需的量。由於只有兩種成分，因此只有一種可能的配對方式。將3%與期望的1%之差，分配給低脂牛奶；而½%與期望的1%之差，則交替分配給全脂牛奶。然後將總量8盎司除以 2 + {1\over2} = {5\over2} 的總和，得出 16\over 5 ，兩種成分的量分別為

{16\over 5}\times{1\over 2} = {8\over 5} 盎司全脂牛奶和 {16\over 5}\times 2 = {32\over 5} 盎司低脂牛奶。

一個同時適用於「反和法」與「正和法」的通用公式如下： Aa + Bb = Cc。

在此公式中，A 是成分 A 的體積，a 是其混合係數（例如 a=3%）；B 是成分 B 的體積，b 是其混合係數；C 是期望的體積，c 是其混合係數。因此，在上述範例中，我們得到：A(0.03) + B(0.005) = 8盎司(0.01)。我們知道 B = (8盎司 - A)，因此可以輕易解出 A 和 B 分別為 1.6 和 6.4 盎司。使用此公式，無論您處理的是正和法、反和法還是其他問題，都可以解出 A、a、B、b、C、c 這 6 個變數中的任何一個。

三變數反和法

假設您有100美元要購買100個糖果，棒棒糖每支50美分，糖果棒每條3美元，大巧克力棒每塊10美元。您會各種買多少個？

在下面的步驟序列中，請參考此表格：

確定糖果的平均價格，為1美元。
找出其中一種成本低於平均價格的糖果（稱為「單品」），並將其與一種高於平均價格的單品配對（在此情況下，只有一種低成本單品，但您可以從兩種高成本單品中選擇）。
從平均價格中減去較低價單品的價格（在此情況下，$1.00 - 0.50）。將0.50的差額分配給A欄中較高價的單品。
從較高價單品的價格中減去平均價格（在此情況下，$3.00 - $1.00）。將2.00的差額分配給A欄中較低價的單品。
選擇另一個較高價的單品（在此情況下，為10美元）並從中減去平均價格。將9.00的差額分配給B欄中較低價的單品。
重複步驟3，將0.50的差額分配給B欄中較高價的單品。
將A欄中數值的比例約分至最簡整數比，並將該合劑比例分配給C欄中的儲存格。
將B欄中數值的比例約分至最簡整數比，並將該合劑比例分配給D欄中的儲存格。
將C欄的值相加（在此情況下為5）；這是「整體份數」的總數。
將C欄的值複製到E欄。
將D欄的值乘以「整體份數」（在此情況下為5）。
將每列的E欄和F欄的值相加，以確定要購買的每種單品的數量答案。

重複稀釋

從一個裝滿純酒的酒桶中抽出8公升酒，然後注滿水。此操作再重複進行三次。現在桶中剩餘的酒量與水量之比為 16:65。酒桶最初裝有多少酒？這是一個涉及對給定溶液進行重複稀釋的問題範例。

設 Vw 為酒桶中原有的酒體積。
設 Vt 為酒桶中液體的總體積。
設 X 為酒桶中原有的酒百分比。

X = 原始酒體積 / 酒桶中液體總體積 = Vw / Vt

當抽出8公升液體時，酒的體積減少了 8X 公升，而液體總體積保持不變，因為酒桶又被水注滿。

設 X’ 為此操作後酒桶中新的酒百分比

X’ = (原始酒體積 – 8X) / 酒桶中液體總體積

X’ = [Vw – 8 (Vw/ Vt)] / Vt

X’ = X (Vt – 8) / Vt

經過4次這樣的替換操作後，X’’’’ = X [(Vt – 8)/ Vt] ^ 4

根據題目，X’’’’ = 16/ (16 + 65) = 16/ 81

此外，由於酒桶最初裝滿純酒，所以 X = 1

[(Vt – 8)/ Vt] ^ 4 = 16/ 81

Vt = 24 公升

參考資料

外部連結

Alligation alterne et medial: www.formatp.ca/alligation.php
反和法與藥物調製：近代早期英國的算術與醫學
《羅賓森進階實用算術》

Category:初等算術