逆半群

在群論中，一個逆半群 (inverse semigroup)（有時也稱 inversion semigroup）S 是一個半群，其中 S 中的每個元素 x 都有一個唯一的逆元 y，滿足 x=xyx 且 y=yxy，也就是說，這是一個每個元素都有唯一逆元的正則半群。逆半群出現於多種情境中；例如，它們可用於研究偏對稱。

（本文遵循的慣例是將函數寫在其參數的右側，例如寫成 xf 而非 f(x)，且函數的複合是從左到右——這是在半群論中常見的慣例。）

起源

逆半群是由蘇聯的維克托·弗拉基米羅維奇·瓦格納於 1952 年，以及英國的戈登·普雷斯頓於 1954 年各自獨立引入的。兩位作者都是透過研究集合的偏雙射而得出逆半群的概念：一個集合 X 上的偏變換 α 是一個從 A 到 B 的函數，其中 A 和 B 是 X 的子集。設 α 和 β 為集合 X 上的偏變換；α 和 β 可在使其複合「有意義」的最大定義域上進行複合（從左到右）：

\operatorname{dom}\alpha\beta = [\operatorname{im} \alpha \cap \operatorname{dom} \beta] \alpha^{-1} \,

其中 α−1 表示在α 下的原像。偏變換先前已在偽群的脈絡下被研究。然而，是瓦格納首先觀察到偏變換的複合是二元關係複合的一個特例。他還意識到兩個偏變換複合的定義域可能是空集合，因此他引入了一個空變換來處理這種情況。加上這個空變換後，集合上偏變換的複合就成為一個處處有定義的結合二元運算。在此複合運算下，集合 X 上所有偏單射變換的集合 \mathcal{I}_X 構成一個逆半群，稱為 X 上的對稱逆半群（或么半群），其逆元是從值域到定義域定義的函數逆元（相當於逆關係）。這就是「原型」逆半群，就像對稱群是原型群一樣。例如，正如每個群都可以嵌入到一個對稱群中，每個逆半群也都可以嵌入到一個對稱逆半群中（見下文的瓦格納-普雷斯頓定理）。

基礎

逆半群 S 中元素 x 的逆元通常寫作 x−1。逆半群中的逆元具有許多與群中逆元相同的性質，例如 (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}。在逆么半群中，xx−1 和 x−1x 不一定等於單位元，但它們都是冪等元。一個逆么半群 S，若其中對所有 S 中的 x 皆有 xx^{-1}=x^{-1}x（一個單位冪等的逆么半群），那麼它自然就是一個群。

一個逆半群 S 有多個等價的刻劃：

• S 的每個元素都有一個唯一的逆元（如上述意義）。
• S 的每個元素都至少有一個逆元（S 是正則半群），且冪等元可交換（也就是說，S 的冪等元構成一個半格）。
• 每個 \mathcal{L}-類和每個 \mathcal{R}-類都恰好包含一個冪等元，其中 \mathcal{L} 和 \mathcal{R} 是格林關係中的兩種。

s 的 \mathcal{L}-類中的冪等元是 s−1s，而 s 的 \mathcal{R}-類中的冪等元是 ss−1。因此，在逆半群中格林關係有一個簡單的 刻劃：

a\,\mathcal{L}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,\mathcal{R}\,b\Longleftrightarrow

aa^{-1}=bb^{-1}

除非另有說明，E(S) 將表示逆半群 S 的冪等元半格。

逆半群範例

• 集合 X 上的偏雙射在複合運算下構成一個逆半群。
• 每個群都是一個逆半群。
• 雙循環半群是逆的，且 (a,b)^{-1}=(b,a)。
• 每個半格都是逆的。
• Brandt 半群是逆的。
• Munn 半群是逆的。

乘法表示例。它是結合的，且根據 x=xyx、y=yxy，每個元素都有其自身的逆元。它沒有單位元且不可交換。

自然偏序

一個逆半群 S 擁有一個自然偏序關係 ≤（有時記為 ω）， 其定義如下：

a \leq b \Longleftrightarrow a=eb,

對於 S 中的某個冪等元 e。等價地，

a \leq b \Longleftrightarrow a=bf,

對於 S 中的某個（通常是不同的）冪等元 f。事實上，e 可以取為 aa−1，f 可以取為 a−1a。

自然偏序與乘法和逆元運算都是相容的，也就是說，

a \leq b, c \leq d \Longrightarrow ac \leq bd

以及

a \leq b \Longrightarrow a^{-1} \leq b^{-1}.

在群中，此偏序關係簡化為等式關係，因為單位元是唯一的冪等元。在對稱逆半群中，偏序關係簡化為映射的限制，即 \alpha \leq \beta 當且僅當 α 的定義域包含於 β 的定義域中，且對於 α 定義域中的所有 x，有 \alpha(x)=\beta(x)。

逆半群上的自然偏序與格林關係的互動如下：若 a \leq b 且 s\,\mathcal{L}\,t，則 a=b。同樣地，若 a \leq b 且 a\,\mathcal{R}\,b，則 a=b。

在 E(S) 上，自然偏序變為：

e \leq f \Longleftrightarrow e = ef,

因此，由於冪等元在乘積運算下構成半格，E(S) 上的乘積給出了關於 ≤ 的最小上界。

若 E(S) 是有限的且構成一個鏈（即 E(S) 被 ≤ 全序排序），則 S 是一系列群的聯集。若 E(S) 是一個無限鏈，則在對 S 和 E(S) 附加額外假設的情況下，可以得到類似的結果。

逆半群的同態與表示

逆半群的同態（或態射）的定義與任何其他 半群完全相同：對於逆半群 S 和 T，一個從 S 到 T 的函數 θ 是一個 態射，若對於所有 S 中的 s, t，都有 (st)\theta = (s\theta)(t\theta)。逆半群態射的 定義可以增加條件 (s^{-1})\theta = (s\theta)^{-1}，但沒有必要這樣做，因為此性質可由上述定義透過以下定理推導得出：

定理。逆半群的同態像是一個逆半群；元素的逆元總是對應到該元素像的逆元。

關於逆半群最早被證明的結果之一是瓦格納-普雷斯頓定理，這是群的凱萊定理的類似物：

瓦格納-普雷斯頓定理。若 S 是一個逆半群，則從 S 到 \mathcal{I}_S 的函數 φ， 定義為

dom (aφ) = Sa−1 且 x(aφ) = xa

是 S 的一個忠實表示。

因此，任何逆半群都可以嵌入到一個對稱逆半群中，且其像在偏雙射的逆元運算下是封閉的。反之，任何在逆元運算下封閉的對稱逆半群的子半群都是一個逆半群。因此，一個半群 S 同構於某個在逆元下封閉的對稱逆半群的子半群，當且僅當 S 是一個逆半群。

逆半群上的同餘

逆半群上的同餘定義與任何其他半群完全相同：一個 同餘 ρ 是一個等價關係，且與半群乘法相容，即

a\,\rho\,b,\quad c\,\rho\,d\Longrightarrow ac\,\rho\,bd.

特別值得關注的是在逆半群 S 上定義的關係 \sigma：

a\,\sigma\,b\Longleftrightarrow 存在一個 c\in S 滿足 c\leq

a,b. 可以證明 σ 是一個同餘，事實上，它是一個群同餘，意指商半群 S/σ 是一個群。在一個半群 S 上的所有群同餘集合中，最小元素（對於由集合包含關係定義的偏序）不一定是最小元。在 S 是逆半群的特定情況下，σ 是 S 上使得 S/σ 為群的最小同餘，也就是說，若 τ 是 S 上任何其他使得 S/τ 為群的同餘，則 σ 包含於 τ。同餘 σ 稱為 S 上的最小群同餘。最小群同餘可用於刻劃 E-酉逆半群（見下文）。

若逆半群 S 上的同餘 ρ 滿足：

a\in S, e\in E(S), a\,\rho\,e\Longrightarrow a\in E(S)，

則稱 ρ 為冪等純的。

E-酉逆半群

多年來被廣泛研究的一類逆半群是 E-酉逆半群：一個逆半群 S（其冪等元半格為 E）是 E-酉的，若對於所有 E 中的 e 和所有 S 中的 s，

es \in E \Longrightarrow s \in E.

等價地，

se \in E \Rightarrow s \in E.

E-酉逆半群 S 的另一個刻劃如下：若 e 屬於 E 且 e ≤ s（對於 S 中的某個 s），則 s 屬於 E。

定理。設 S 為一個逆半群，其冪等元半格為 E，最小群同餘為 σ。則以下各項等價：

• S 是 E-酉的；
• σ 是冪等純的；
• \sim = σ，

其中 \sim 是 S 上的相容關係，定義為

a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b 是冪等元。

麥卡利斯特覆蓋定理。 每個逆半群 S 都有一個 E-酉覆蓋；也就是說，存在一個從某個 E-酉半群 T 到 S 的冪等元分離的滿射同態。

研究 E-酉逆半群的核心是以下構造。設 \mathcal{X} 為一個偏序集，其序關係為 ≤，並設 \mathcal{Y} 為 \mathcal{X} 的一個子集，具有以下性質：

• \mathcal{Y} 是一個下半格，也就是說，\mathcal{Y} 中的每對元素 A, B 都在 \mathcal{Y} 中有一個最大下界 A \wedge B（相對於 ≤）；
• \mathcal{Y} 是 \mathcal{X} 的一個序理想，也就是說，對於 \mathcal{X} 中的 A, B，若 A 在 \mathcal{Y} 中且 B\leq A，則 B 也在 \mathcal{Y} 中。

現在設 G 為一個作用於 \mathcal{X}（在左側）的群，使得

• 對於所有 G 中的 g 和所有 \mathcal{X} 中的 A, B，A\leq B 當且僅當 gA\leq gB；
• 對於每個 G 中的 g 和每個 \mathcal{X} 中的 B，存在 \mathcal{X} 中的一個 A 使得 B=gA；
• 對於所有 \mathcal{X} 中的 A, B，A\leq B 當且僅當 A=B；
• 對於所有 G 中的 g, h 和所有 \mathcal{X} 中的 A，(gh)A = g(hA)。

三元組 (G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) 也假設具有以下性質：

• 對於 \mathcal{X} 中的每個 X，存在 G 中的一個 g 和 \mathcal{Y} 中的一個 A 使得 X=gA；
• 對於所有 G 中的 g，g\mathcal{Y} 和 \mathcal{Y} 的交集非空。

這樣的三元組 (G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) 稱為麥卡利斯特三元組。一個麥卡利斯特三元組用於定義以下內容：

P(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) = \{ (A,g) \in \mathcal{Y}\times G: g^{-1}A \in \mathcal{Y} \}

並配備乘法

(A,g)(B,h)=(A \wedge gB, gh)。

則 P(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) 在此乘法下是一個逆半群，且 (A,g)^{-1}=(g^{-1}A, g^{-1})。研究 E-酉逆半群的主要結果之一是麥卡利斯特 P-定理：

麥卡利斯特 P-定理。 設 (G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) 為一個麥卡利斯特三元組。則 P(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) 是一個 E-酉逆半群。反之，每個 E-酉逆半群都同構於此種類型的一個半群。

F-逆半群

一個逆半群被稱為 F-逆的，若每個元素在自然偏序下都有一個唯一的極大元素在其上方，即每個 σ-類都有一個極大元素。每個 F-逆半群都是一個 E-酉么半群。麥卡利斯特覆蓋定理已被 M.V. Lawson 改良為：

定理。每個逆半群都有一個 F-逆覆蓋。

麥卡利斯特 P-定理也已被用來刻劃 F-逆半群。一個麥卡利斯特三元組 (G, \mathcal{X}, \mathcal{Y}) 是一個 F-逆半群當且僅當 \mathcal{Y} 是 \mathcal{X} 的一個主理想且 \mathcal{X} 是一個半格。

自由逆半群

對於逆半群，可以進行類似於自由群的構造。一個集合 X 上的自由逆半群的表示，可以透過考慮帶有對合的自由半群（其中對合是取逆元），然後再對瓦格納同餘作商來得到：

\{ (xx^{-1}x, x),\; (xx^{-1}yy^{-1}, yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y \in (X\cup X^{-1})^+ \}.

自由逆半群的字問題比自由群的要複雜得多。W. D. Munn 證明了自由逆半群的元素可以自然地視為樹，稱為 Munn 樹。自由逆半群中的乘法在 Munn 樹上有其對應，基本上是由樹的共同部分重疊所組成。（更多細節請參見 Lawson 1998）

任何自由逆半群都是 F-逆的。

與範疇論的關聯

上述集合上偏變換的複合產生了對稱逆半群。還有另一種複合偏變換的方式，比上述方式更具限制性：兩個偏變換 α 和 β 能夠複合，當且僅當 α 的值域等於 β 的定義域；否則，複合 αβ 未定義。在這種替代的複合運算下，集合上所有偏單射變換的集合構成的不是逆半群，而是範疇論意義下的歸納廣群。逆半群與歸納廣群之間的這種密切關聯體現在艾爾斯曼-沙因-南布里帕德定理中，該定理指出，歸納廣群總是可以從逆半群構造出來，反之亦然。更精確地說，一個逆半群正是在偏序集範疇中的一個廣群，它關於其（對偶）亞歷山德羅夫拓撲是一個平展廣群，且其物件偏序集是一個交半格。

逆半群的推廣

如上所述，逆半群 S 可由以下條件定義：(1) S 是一個正則半群，且 (2) S 中的冪等元可交換；這導致了兩類不同的逆半群推廣：一類是滿足 (1) 但不滿足 (2) 的半群，反之亦然。

逆半群的正則推廣範例如下：

• 正則半群：一個半群 S 是正則的，若每個元素都至少有一個逆元；等價地，對於 S 中的每個 a，存在 S 中的一個 x，使得 axa=a。
• 局部逆半群：一個正則半群 S 是局部逆的，若對於每個冪等元 e，eSe 是一個逆半群。
• 正統半群：一個正則半群 S 是正統的，若其冪等元子集構成一個子半群。
• 廣義逆半群：一個正則半群 S 被稱為廣義逆半群，若其冪等元構成一個正規帶，即對於所有冪等元 x, y, z，有 xzyx=xzy。

廣義逆半群類是局部逆半群類與正統半群類的交集。

逆半群的非正則推廣包括：

• （左、右、雙邊）適足半群。
• （左、右、雙邊）豐足半群。
• （左、右、雙邊）半適足半群。
• 弱（左、右、雙邊）豐足半群。

逆範疇

逆元的概念也很容易推廣到範疇。一個逆範疇就是一個每個態射 f 都有唯一廣義逆元 g 的範疇，滿足 f=fgf 且 g=gfg。逆範疇是自對偶的。集合與偏雙射的範疇是其主要範例。

逆範疇已在理論計算機科學中找到多種應用。

延伸閱讀

• 若想簡要了解逆半群，可參見 或 。
• 更全面的介紹可見於 和 。
• 開放取用預印本

Category:代數結構 Category:半群論