動機上同調

動機上同調是代數簇以及更廣義概形的一種不變量。它是一種與動機相關的上同調，並包含代數循環的周環作為其特例。代數幾何與數論中一些最深刻的問題，都與理解動機上同調的嘗試有關。

動機同調與上同調

令 X 為域 k 上的有限型概形。代數幾何的一個關鍵目標是計算 X 的周群，因為它們提供了關於 X 所有子簇的豐富資訊。X 的周群具有拓撲學中 Borel–Moore 同調的一些形式性質，但仍有所欠缺。例如，對於 X 的一個閉子概形 Z，存在一個周群的正合序列，即局部化序列

CH_i(Z) \rightarrow CH_i(X) \rightarrow CH_i(X-Z) \rightarrow 0,

而在拓撲學中，這會是一個長正合序列的一部分。

這個問題透過將周群推廣為一個雙次群族——（Borel–Moore）動機同調群（Bloch 最初稱之為高維周群）——而得到解決。也就是說，對每個域 k 上的有限型概形 X 以及整數 i 和 j，我們有一個阿貝爾群 H i (X,Z(j))，其中通常的周群為其特例

CH_i(X) \cong H_{2i}(X,\mathbf{Z}(i)).

對於概形 X 的閉子概形 Z，動機同調群存在一個長正合局部化序列，其末端為周群的局部化序列：

\cdots\rightarrow H_{2i+1}(X-Z,\mathbf{Z}(i))\rightarrow H_{2i}(Z,\mathbf{Z}(i))\rightarrow H_{2i}(X,\mathbf{Z}(i))\rightarrow H_{2i}(X-Z,\mathbf{Z}(i))\rightarrow 0.

事實上，這是由 Voevodsky 建構的四個理論之一：動機上同調、緊支撐動機上同調、Borel-Moore 動機同調（如上所述）以及緊支撐動機同調。這些理論具有許多與拓撲學中相應理論相同的形式性質。例如，對於每個域上的有限型概形 X，動機上同調群 H i (X,Z(j)) 構成一個雙次環。當 X 是 k 上的 n 維光滑概形時，存在一個龐加萊對偶同構

H^i(X,\mathbf{Z}(j))\cong H_{2n-i}(X,\mathbf{Z}(n-j)).

特別是，當 X 在 k 上光滑時，餘維數為 i 的循環的周群 CH i (X) 同構於 H 2i (X,Z(i))。

k 上的光滑概形 X 的動機上同調 H i (X, Z(j)) 是 X 在扎里斯基拓撲中，以 X 上某個層複形 Z(j) 為係數的上同調。（某些性質使用 Nisnevich 拓撲更容易證明，但這會得到相同的動機上同調群。）例如，當 j < 0 時 Z(j) 為零，Z(0) 是常數層 Z，而 Z(1) 在 X 的導出範疇中同構於 G m [−1]。這裡 G m （乘法群）表示可逆正則函數層，而平移 [−1] 意味著該層被視為一個在次數 1 上的複形。

這四種版本的動機同調與上同調，可以定義在任何阿貝爾群係數上。不同係數的理論之間，透過泛係數定理相關聯，如同在拓撲學中一樣。

與其他上同調理論的關係

與 K-理論的關係

根據 Bloch、Lichtenbaum、Friedlander、Suslin 和 Levine 的工作，對於域上的每個光滑概形 X，存在一個從動機上同調到代數 K-理論的譜序列，這類似於拓撲學中的 Atiyah-Hirzebruch 譜序列：

E_2^{pq}=H^p(X,\mathbf{Z}(-q/2)) \Rightarrow K_{-p-q}(X).

如同在拓撲學中，此譜序列在與有理數張量積後退化。對於域上的任意有限型概形（不一定光滑），存在一個從動機同調到 G-理論（凝聚層的 K-理論，而非向量叢的 K-理論）的類似譜序列。

與 Milnor K-理論的關係

動機上同調即使只對域而言，也提供了一個豐富的不變量。（注意，一個域 k 決定了一個概形 Spec(k)，其動機上同調是有定義的。）雖然對於域 k 的動機上同調 H i (k, Z(j)) 的一般情況還遠未被理解，但在 i = j 時有一個描述：

K_j^M(k) \cong H^j(k, \mathbf{Z}(j)),

其中 K j M (k) 是 k 的第 j 個 Milnor K-群。由於域的 Milnor K-理論是由生成元與關係明確定義的，這為 k 的動機上同調的一部分提供了一個有用的描述。

到平展上同調的映射

令 X 為域 k 上的一個光滑概形，m 為在 k 中可逆的正整數。那麼，存在一個從動機上同調到平展上同調的自然同態（循環映射）：

H^i(X,\mathbf{Z}/m(j))\rightarrow H^i_{et}(X,\mathbf{Z}/m(j)),

其中右側的 Z/m(j) 指的是平展層 (μ m ) ⊗j ，而 μ m 是 m 次單位根。這推廣了從光滑簇的周環到平展上同調的循環映射。

在代數幾何或數論中，一個常見的目標是計算動機上同調，而平展上同調通常更容易理解。例如，若基域 k 是複數域，則平展上同調與奇異上同調（取有限係數）重合。Voevodsky 證明的一個強大結果，即 Beilinson-Lichtenbaum 猜想，指出許多動機上同調群實際上同構於平展上同調群。這是範數剩餘同構定理的一個推論。具體來說，Beilinson-Lichtenbaum 猜想（Voevodsky 定理）指出，對於域 k 上的一個光滑概形 X 和在 k 中可逆的正整數 m，循環映射

H^i(X,\mathbf{Z}/m(j))\rightarrow H^i_{et}(X,\mathbf{Z}/m(j))

對於所有 j ≥ i 是同構，且對於所有 j ≥ i − 1 是單射的。

與動機的關係

對於任意域 k 和交換環 R，Voevodsky 定義了一個 R-線性的三角範疇，稱為 k 上 R 係數的動機的導出範疇，記為 DM(k; R)。k 上的每個概形 X 都決定了 DM 中的兩個對象，分別稱為 X 的動機 M(X) 和 X 的緊支撐動機 M c (X)；若 X 在 k 上是適當的，則兩者同構。

動機的導出範疇的一個基本點在於，四種類型的動機同調與動機上同調，都是作為此範疇中的態射集而出現的。為描述此點，首先注意在 DM(k; R) 中對所有整數 j 都存在 Tate 動機 R(j)，使得射影空間的動機是 Tate 動機的直和：

M(\mathbf{P}^n_k)\cong \oplus_{j=0}^n R(j)[2j],

其中 M ↦ M[1] 表示三角範疇 DM(k; R) 中的平移或「翻譯函子」。用這些術語來說，動機上同調（例如）由下式給出：

H^i(X,R(j))\cong \text{Hom}_{DM(k; R)}(M(X),R(j)[i])

對於 k 上的每個有限型概形 X。

當係數 R 為有理數時，Beilinson 的一個猜想的現代版本預測，DM(k; Q) 中的緊對象子範疇等價於一個阿貝爾範疇 MM(k)（k 上的混合動機範疇）的有界導出範疇。特別地，該猜想將意味著動機上同調群可被視為混合動機範疇中的 Ext 群。這一點還遠未被證明。具體而言，Beilinson 猜想會導出 Beilinson-Soulé 猜想，即當 i < 0 時 H i (X,Q(j)) 為零，而此猜想僅在少數情況下已知為真。

反之，Beilinson-Soulé 猜想的一個變體，加上 Grothendieck 標準猜想以及 Murre 關於周動機的猜想，將會導出存在一個阿貝爾範疇 MM(k) 作為 DM(k; Q) 上 t-結構的核心。要將 MM(k) 中的 Ext 群等同於動機上同調，還需要更多的條件。

對於複數的子域 k，Nori 已定義了一個混合動機的阿貝爾範疇的候選者。如果一個具有預期性質的範疇 MM(k) 存在（特別是從 MM(k) 到 Q-向量空間的 Betti 實現函子是忠實的），那麼它必定等價於 Nori 的範疇。

在算術幾何中的應用

L-函數的值

令 X 為數域上的一個光滑射影簇。關於 L-函數值的 Bloch-Kato 猜想預測，X 的 L-函數在整數點的零點階等於某個合適的動機上同調群的秩。這是數論的核心問題之一，它整合了 Deligne 和 Beilinson 的早期猜想。Birch–Swinnerton-Dyer 猜想是其一個特例。更精確地說，該猜想用調節子和動機上同調上的高度配對來預測 L-函數在整數點的首項係數。

歷史

將周群推廣至更普遍的代數簇動機上同調理論，其第一個明確的跡象是 Quillen 對代數 K-理論的定義與發展（1973年），該理論推廣了向量叢的 Grothendieck 群 K 0 。在1980年代早期，Beilinson 和 Soulé 觀察到 Adams 運算給出了與有理數張量積後的代數 K-理論的一個分裂；其各個直和項現被稱為動機上同調（具有有理係數）。Beilinson 和 Lichtenbaum 提出了具影響力的猜想，預測了動機上同調的存在性與性質。他們的大部分猜想現已被證明，但並非全部。

Bloch 對高維周群的定義（1986年）是域 k 上擬射影簇的 Borel-Moore 動機同調的第一個整係數（相對於有理係數）定義（因此，在光滑簇的情況下，也定義了動機上同調）。X 的高維周群的定義是周群定義的一個自然推廣，涉及 X 與仿射空間的積上的代數循環，這些循環以預期維度與一組超平面（視為單純形的面）相交。

在1990年代，Voevodsky（基於他與 Suslin 的工作）在一個非常穩健的 \mathbb{A}^1 -同倫理論框架內，為完美域上的光滑概形定義了四種動機同調與動機上同調，以及一個動機的三角範疇。Hanamura 和 Levine 也給出了不同的建構。根據 Levine、Ivorra 和 Bondarko 的工作，這三個動機的三角範疇現已知是等價的。

Voevodsky 還為奇異簇定義了一種動機上同調，並將其用於證明 Bloch-Kato 猜想。這後來被稱為 cdh 動機上同調，因為它出現在一個 Atiyah–Hirzebruch 型譜序列中，該譜序列計算的是同倫不變代數 K-理論（代數 K-理論的 cdh-局部化），而非代數 K-理論本身。

參見

• 帶轉移的預層
• A¹ 同倫理論

外部連結

• Harrer Daniel，〈比較 Voevodsky 和 Nori 定義的動機範疇〉
• Wiesława Nizioł，〈算術中的 p-進動機上同調〉

Category:上同調理論 Category:同倫代數 Category:代數幾何的拓撲方法