弗拉索夫方程式

在電漿物理學中，弗拉索夫方程式是一個描述無碰撞電漿分布函數隨時間演化的微分方程式，此電漿由具有長程交互作用（例如庫侖交互作用）的帶電粒子所組成。該方程式由阿納托利·弗拉索夫於 1938 年首次提出用於描述電漿，並於之後在其專著中詳細討論。弗拉索夫方程式與朗道動理學方程式結合，可用於描述碰撞電漿。

標準動理學方法的困難

首先，弗拉索夫主張，基於波茲曼方程式的標準動理學方法在應用於描述具有長程庫侖交互作用的電漿時會遇到困難。他提到了在將基於成對碰撞的動理學理論應用於電漿動力學時出現的以下問題：

1. 成對碰撞理論與瑞利、歐文·蘭米爾及路易·唐克斯所發現的電子電漿中的自然振盪不符。
2. 由於動力學項的發散，成對碰撞理論在形式上不適用於庫侖交互作用。
3. 成對碰撞理論無法解釋哈里森·梅里爾與哈羅德·韋伯關於氣態電漿中異常電子散射的實驗。

弗拉索夫認為，這些困難源自於庫侖交互作用的長程特性。他從無碰撞波茲曼方程式（在此脈絡下，稱其為弗拉索夫方程式是時代錯置的）出發，以廣義座標表示： <math display="block">\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} f(\mathbf r,\mathbf p,t) = 0,</math>

明確地寫成一個偏微分方程： <math display="block">\frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\mathrm d\mathbf {r}}{\mathrm dt} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf {r}} + \frac {\mathrm d\mathbf {p}}{\mathrm dt} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf {p}} = 0,</math> 並將其應用於電漿的情形，從而導出如下所示的方程組。此處的 <math>f</math> 是在給定時間 <math>t</math>、座標 <math>\mathbf r</math> 處，帶有動量 <math>\mathbf p</math> 的粒子之一般分布函數。請注意，<math>\frac {\mathrm d\mathbf {p}}{\mathrm dt}</math> 項是作用在粒子上的力 <math>\mathbf F</math>。

弗拉索夫-馬克士威方程組（高斯單位制）

弗拉索夫不採用基於碰撞的動理學來描述電漿中帶電粒子的交互作用，而是利用由帶電電漿粒子產生的自洽集體場。這樣的描述使用了分別對應電子和（正）電漿離子的分布函數 <math>f_e(\mathbf {r},\mathbf {p},t)</math> 和 <math>f_i(\mathbf {r},\mathbf {p},t)</math>。物種 <math>\alpha</math> 的分布函數 <math>f_{\alpha}(\mathbf {r},\mathbf {p},t)</math> 描述了在時間 <math>t</math>、位置 <math>\mathbf {r}</math> 附近，動量約為 <math>\mathbf {p}</math> 的該物種粒子數量。為描述電漿的帶電成分（電子和正離子），提出了以下方程組，以取代波茲曼方程式： <math display="block">\begin{align} \frac{\partial f_e}{\partial t} + \mathbf{v}_e \cdot \nabla f_e - \;\; e \left(\mathbf{E} +\frac{\mathbf{v}_e}{c} \times \mathbf {B}\right) \cdot \frac{\partial f_e}{\partial\mathbf{p}} &= 0 \\ \frac{\partial f_i}{\partial t} + \mathbf{v}_i \cdot \nabla f_i + Z_i e \left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}_i}{c} \times \mathbf {B}\right) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial\mathbf {p}} &= 0 \end{align}</math>

<math display="block">\begin{align} \nabla\times\mathbf {B} &= \frac{4\pi}{c} \mathbf{j} + \frac{1}{c} \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}, & \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0, \\ \nabla\times\mathbf{E} &= -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf {B}}{\partial t}, & \nabla\cdot\mathbf{E} &= 4\pi\rho, \end{align}</math>

<math display="block">\begin{align} \rho &= e \int \left(Z_i f_i - f_e\right) \mathrm{d}^3\mathbf{p},\\ \mathbf {j} &= e \int \left(Z_i f_i \mathbf{v}_i - f_e \mathbf{v}_e\right) \mathrm{d}^3\mathbf{p},\\ \mathbf {v}_\alpha &= \frac{\mathbf {p} / m_\alpha}{\sqrt{1 + p^2 / \left(m_\alpha c\right)^2}} \end{align}</math>

此處 <math>e</math> 是基本電荷（<math>e>0</math>），<math>c</math> 是光速，<math>Z_i e</math> 是離子電荷，<math>m_i</math> 是離子質量，<math>\mathbf {E}(\mathbf {r},t)</math> 和 <math>\mathbf {B}(\mathbf {r}, t)</math> 代表在時間 <math>t</math>、位置 <math>\mathbf {r}</math> 由所有電漿粒子所產生的集體自洽電磁場。此方程組與描述粒子在外部電磁場中運動的方程式，其本質區別在於，自洽電磁場以一種複雜的方式依賴於電子和離子的分布函數 <math>f_e(\mathbf {r},\mathbf {p},t)</math> 和 <math>f_i(\mathbf {r},\mathbf {p},t)</math>。

弗拉索夫-帕松方程式

弗拉索夫-帕松方程式是在非相對論性零磁場極限下，對弗拉索夫-馬克士威方程組的近似： <math display="block">\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} + \mathbf {v}_{\alpha} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \mathbf {x}}+ \frac{q_{\alpha}\mathbf {E}}{m_{\alpha}} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \mathbf {v}} = 0,</math>

以及用於自洽電場的帕松方程式： <math display="block">\nabla^2 \phi +\frac{ \rho }{\varepsilon} = 0.</math>

此處 <math>q_{\alpha}</math> 是粒子的電荷，<math>m_{\alpha}</math> 是粒子的質量，<math>\mathbf {E}(\mathbf {x},t)</math> 是自洽電場，<math>\phi(\mathbf {x}, t)</math> 是自洽電位，<math>\rho</math> 是電荷密度，而 <math>\varepsilon</math> 是電容率。

弗拉索夫-帕松方程式用於描述電漿中的各種現象，特別是朗道阻尼以及雙層電漿中的分布，在這些情況下，分布必然是強烈的非馬克士威分布，因此流體模型無法處理。

矩方程式

在電漿的流體描述中（見電漿模型和磁流體力學（MHD）），我們不考慮速度分布。這是透過將 <math>f(\mathbf r,\mathbf v,t)</math> 替換為電漿矩，如數密度 <math>n</math>、流速 <math>\mathbf u</math> 和壓力 <math>\mathcal P</math> 來實現的。它們被稱為電漿矩，因為 <math>f</math> 的第 <math>n</math> 階矩可以透過對速度積分 <math>v^n f</math> 來得到。這些變數僅是位置和時間的函數，這意味著部分資訊會遺失。在多流體理論中，不同的粒子種類被視為具有不同壓力、密度和流速的不同流體。支配電漿矩的方程式被稱為矩方程式或流體方程式。

以下呈現兩個最常用的矩方程式（以國際單位制表示）。從弗拉索夫方程式推導矩方程式，無需對分布函數做任何假設。

連續性方程式

連續性方程式描述密度如何隨時間變化。它可以透過對整個速度空間積分弗拉索夫方程式來得到。 <math display="block">\int\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} \mathrm{d}^3v = \int \left(\frac{\partial f}{\partial t} + (\mathbf {v}\cdot\nabla_r)f +(\mathbf {a} \cdot \nabla_v) f\right) \mathrm{d}^3v=0 </math>

經過一些計算後，可得到 <math display="block">\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot (n\mathbf{u}) = 0.</math>

數密度 <math>n</math> 和動量密度 <math>n\mathbf u</math> 分別是零階和一階矩： <math display="block"> n = \int f \, \mathrm{d^3}v</math> <math display="block"> n \mathbf u = \int \mathbf v f \, \mathrm{d}^3v</math>

動量方程式

粒子動量的變化率由勞侖茲方程式給出： <math display="block">m\frac{\mathrm d\mathbf {v}}{\mathrm d t}=q(\mathbf {E} + \mathbf {v} \times \mathbf {B})</math>

利用此方程式和弗拉索夫方程式，每個流體的動量方程式變為 <math display="block">mn\frac{\mathrm D}{\mathrm D t}\mathbf{u}= -\nabla\cdot \mathcal{P} + qn\mathbf {E} + qn\mathbf{u}\times \mathbf {B},</math> 其中 <math>\mathcal{P}</math> 是壓力張量。物質導數為 <math display="block">\frac{\mathrm D}{\mathrm D t} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf u \cdot \nabla.</math>

壓力張量定義為粒子質量乘以速度的共變異數矩陣： <math display="block"> p_{ij} = m \int (v_i - u_i) (v_j - u_j)f \mathrm{d}^3v.</math>

凍結近似

如同理想磁流體力學，當滿足某些條件時，電漿可被視為束縛於磁力線上。人們常說磁力線被凍結在電漿中。凍結條件可以從弗拉索夫方程式推導出來。

我們分別引入時間、距離和速度的尺度 <math>T</math>、<math>L</math> 和 <math>V</math>。它們代表了能使 <math>f</math> 產生巨大變化的不同參數之量級。所謂巨大，意指 <math display="block">\frac{\partial f}{\partial t}T \sim f \quad \left|\frac{\partial f}{\partial\mathbf r}\right| L \sim f \quad\left|\frac{\partial f}{\partial\mathbf v}\right| V\sim f.</math>

接著我們寫下 <math display="block"> t' = \frac{t}{T}, \quad \mathbf r'=\frac{\mathbf r}{L}, \quad \mathbf v' = \frac{\mathbf v}{V}.</math>

弗拉索夫方程式現在可以寫成 <math display="block">\frac{1}{T} \frac{\partial f}{\partial t'} + \frac{V}{L} \mathbf v' \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf r'} + \frac{q}{m V} (\mathbf E + V \mathbf v' \times \mathbf B) \cdot \frac{\partial f}{\partial\mathbf v'} = 0.</math>

到目前為止，尚未做任何近似。為了能繼續推導，我們設定 <math>V = R \omega_g</math>，其中 <math>\omega_g = qB / m</math> 是迴旋頻率，<math>R</math> 是迴旋半徑。同除以 <math>\omega_g</math>，可得 <math display="block">\frac{1}{\omega_gT}\frac{\partial f}{\partial t'} + \frac{R}{L} \mathbf v' \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf r'} + \left(\frac{\mathbf E}{V B} + \mathbf v'\times\frac{\mathbf B}{B}\right) \cdot \frac{\partial f}{\partial\mathbf v'} = 0</math>

若 <math>1/\omega_g \ll T</math> 且 <math>R \ll L</math>，則前兩項將遠小於 <math>f</math>，因為根據前述 <math>T</math>、<math>L</math> 和 <math>V</math> 的定義，<math>\partial f/\partial t' \sim f</math>、<math>v' \lesssim 1</math> 且 <math>\partial f / \partial \mathbf r' \sim f</math>。由於最後一項的量級為 <math>f</math>，我們可以忽略前兩項並寫下 <math display="block">\left(\frac{\mathbf E}{V B} +\mathbf v' \times \frac{\mathbf B}{B}\right)\cdot\frac{\partial f}{\partial\mathbf v'} \approx 0 \Rightarrow (\mathbf E + \mathbf v \times\mathbf B)\cdot\frac{\partial f}{\partial\mathbf v} \approx 0</math>

此方程式可以分解為沿場方向與垂直場方向的部分： <math display="block">\mathbf E_\parallel \frac{\partial f}{\partial\mathbf v_\parallel} + (\mathbf E_\perp + \mathbf v \times \mathbf B) \cdot \frac{\partial f}{\partial\mathbf v_\perp} \approx 0</math>

下一步是寫下 <math>\mathbf v = \mathbf v_0 + \Delta\mathbf v</math>，其中 <math display="block">\mathbf v_0 \times\mathbf B = -\mathbf E_\perp</math>

這麼做的原因很快就會明朗。代入後，我們得到 <math display="block">\mathbf E_\parallel\frac{\partial f}{\partial\mathbf v_\parallel}+ (\Delta\mathbf v_\perp \times\mathbf B) \cdot \frac{\partial f}{\partial\mathbf v_\perp} \approx 0</math>

若平行電場很小， <math display="block">(\Delta \mathbf v_\perp \times \mathbf B) \cdot \frac{\partial f}{\partial\mathbf v_\perp}\approx 0</math>

此方程式意味著分布是迴旋對稱的。迴旋對稱分布的平均速度為零。因此，<math>\mathbf v_0</math> 與平均速度 <math>\mathbf u</math> 相同，於是我們有 <math display="block">\mathbf E + \mathbf u \times \mathbf B \approx 0</math>

總結來說，迴旋週期和迴旋半徑必須遠小於造成分布函數巨大變化的典型時間和長度。迴旋半徑通常透過將 <math>V</math> 替換為熱速度或阿爾文速度來估計。在後者情況下，<math>R</math> 常被稱為慣性長度。凍結條件必須對每種粒子分別評估。因為電子的迴旋週期和迴旋半徑遠小於離子，所以凍結條件更常會被滿足。

參見

• 福克-普朗克方程式

延伸閱讀

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