收縮幾何

在數學中，收縮幾何（systolic geometry）是一門研究流形與多面體的收縮不變量（systolic invariants）的學科。此學科最初由查爾斯·勒夫納（Charles Loewner）構思，後由米哈伊爾·格羅莫夫（Mikhail Gromov）、邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）、彼得·薩納克（Peter Sarnak）、米哈伊爾·卡茨（Mikhail Katz）、拉里·古思（Larry Guth）等人在其算術、遍歷及拓樸等面向進行發展。另見收縮幾何導論。

收縮長的概念

一個緊緻度量空間 X 的收縮長（systole）是 X 的一個度量不變量，定義為 X 中非可縮環路（即無法在環境空間 X 中收縮至一點的環路）的最小長度。用更技術性的語言來說，我們是在代表 X 基本群中非平凡共軛類的自由環路上，將長度極小化。當 X 是一個圖時，自從 W. T. Tutte 於1947年發表關於圍長（girth）的文章以來，這個不變量通常被稱為圍長。勒夫納可能受到 Tutte 文章的啟發，於1940年代末開始思考曲面上的收縮問題，並促成其學生浦保明（Pao Ming Pu）在1950年完成的博士論文。而「systole」這個術語本身，直到四分之一個世紀後才由馬塞爾·貝爾熱（Marcel Berger）所創。

這條研究路線顯然因勒內·托姆（René Thom）的一席話而獲得了進一步的推動力。在1961–62學年，於R. Accola與C. Blatter的論文發表後不久，托姆在斯特拉斯堡大學圖書館與貝爾熱的對話中，提及這些收縮不等式時，據說曾驚嘆道：Mais c'est fondamental! [這些結果至關重要！]

隨後，貝爾熱透過一系列文章與書籍普及了這個主題，最近的例子是發表於2008年3月《美國數學學會通告》（Notices of the American Mathematical Society）的一篇文章（見下文參考資料）。「收縮幾何與拓樸學網站」上的一份參考書目目前收錄了超過160篇文章。收縮幾何是一個快速發展的領域，近期在頂尖期刊上有諸多發表。最近（見下文Katz與Rudyak的2006年論文），此領域與盧斯特尼克-施尼雷爾曼範疇（Lusternik–Schnirelmann category）的連結也已浮現。此種連結的存在，可被視為收縮拓樸學中的一個定理。

三維空間中心對稱多面體的性質

在 R3 中，每一個凸中心對稱多面體 P，都存在一對對徑點（antipodal points），以及一條連接它們且位於 P 的邊界 ∂P 上的路徑，其長度 L 滿足：

L^2 \leq \frac{\pi}{4} \mathrm{area}(\partial P).

另一種等價的表述如下：任何表面積為 A 的中心對稱凸體，都可以被擠過一個長度為 \sqrt{\pi A} 的環套，其中球體能達到最緊密的貼合。此性質等價於浦氏不等式（見下文）的一個特例，而浦氏不等式是最早期的收縮不等式之一。

概念

為了初步領略這個領域的風味，我們可以做以下觀察。前述托姆對貝爾熱所說的那番話，其要點似乎在於：每當我們遇到一個關聯幾何不變量的不等式，此現象本身就很有趣；而當該不等式為銳利（即最佳）不等式時，更是如此。古典的等周不等式便是一個很好的例子。

在關於曲面的收縮問題中，積分幾何恆等式扮演了尤其重要的角色。粗略地說，存在一個積分恆等式，一方面關聯面積，另一方面則關聯一個合適的環路族能量的平均值。根據柯西-施瓦茨不等式，能量是長度平方的一個上界；因此，我們可以得到一個介於面積與收縮長平方之間的不等式。此方法對勒夫納不等式

\mathrm{sys}^2 \le \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\mathrm{area}

（針對環面，其等號成立於平坦環面，其覆疊變換構成艾森斯坦整數格）與浦氏不等式（針對實射影平面 P2(R)）皆適用：

\mathrm{sys}^2 \le \frac{\pi}{2}\cdot\mathrm{area},

其等號成立的特性，可刻劃一個具有常數高斯曲率的度量。

事實上，應用變異數的計算公式，可得出以下帶有等收縮長虧量（isosystolic defect）的勒夫納環面不等式版本：

\mathrm{area}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{sys}^2\geq \mathrm{var}(f),

其中 f 是該度量相對於其共形類中單位面積平坦度量的共形因子。這個不等式可視為與帶有等周虧量（isoperimetric defect）的Bonnesen不等式類似，後者是等周不等式的一個加強版。

近期已發現了許多此類型的新不等式，包含普適的體積下界。更多細節請見曲面的收縮長。

格羅莫夫的收縮不等式

此領域中最深刻的結果，是格羅莫夫針對一個本質n-流形 M 的同倫1-收縮長所提出的不等式：

\operatorname{sys\pi}_1{}^n \leq C_n \operatorname{vol}(M),

其中 Cn 是一個僅取決於 M 維度的普適常數。此處的同倫收縮長 sysπ1 定義為 M 中非可縮環路的最小長度。一個流形若其基本類 [M] 在其基本群的同調中代表一個非平凡的類，則稱之為本質流形。其證明涉及一個由格羅莫夫引入的新不變量，稱為填充半徑（filling radius），定義如下。

根據 M 是否可定向，我們將係數環 A 記為 Z 或 Z2。那麼，一個緊緻n維流形 M 的基本類（記為 [M]）是 H_n(M;A)=A 的一個生成元。給定 M 在歐幾里得空間 E 中的一個嵌入，我們設定：

\mathrm{FillRad}(M\subset E) = \inf \left\{ \epsilon > 0 \left|\;\iota_\epsilon([M])=0\in H_n(U_\epsilon M) \right. \right\},

其中 ιε 是由 M 包含於其在 E 中的 ε-鄰域 Uε M 所誘導的包含同態。

為了在 M 配備了黎曼度量 g 的情況下定義一個絕對填充半徑，格羅莫夫採取了以下步驟。他利用了由C. 庫拉托夫斯基提出的一個嵌入。他將 M 嵌入到 M 上的有界博雷爾函數所構成的巴拿赫空間 L∞(M) 中，此空間配備了上確界範數 \|\;\|。具體來說，我們將一個點 x ∈ M 映射到 L∞(M) 中的函數 fx，其定義公式為 fx(y) = d(x,y)，對所有 y ∈ M 均適用，其中 d 是由該度量定義的距離函數。根據三角不等式，我們有 d(x,y) = \| f_x - f_y \|, 因此這個嵌入是強等距的，精確意義是其內在距離與環境距離重合。如果環境空間是希爾伯特空間，這樣的強等距嵌入是不可能的，即使 M 是黎曼圓亦然（對徑點之間的距離必須是 π，而非 2！）。然後我們在上述公式中設定 E = L∞(M)，並定義：

\mathrm{FillRad}(M)=\mathrm{FillRad} \left( M\subset L^{\infty}(M) \right).

亦即，格羅莫夫證明了一個聯繫收縮長與填充半徑的銳利不等式：

\mathrm{sys\pi}_1 \leq 6\; \mathrm{FillRad}(M),

對所有本質流形 M 均成立；以及一個不等式：

\mathrm{FillRad} \leq C_n \mathrm{vol}_n{}^{1/n}(M),

對所有閉流形 M 均成立。

一個證明的摘要，基於S. Wenger在幾何測度論中的近期成果，並建立在L. Ambrosio與B. Kirchheim的早期工作之上，收錄於下文引述的《收縮幾何與拓樸學》一書的12.2節。拉里·古思最近提出了另一種完全不同的方法來證明格羅莫夫的不等式。

格羅莫夫的穩定不等式

應當記住，1-收縮不變量（以環路長度定義）與更高階的k-收縮不變量（以閉鏈面積等定義）之間存在顯著差異。雖然目前已得出一些涉及1-收縮長的最佳收縮不等式，但幾乎唯一一個純粹涉及更高階k-收縮長的最佳不等式，是格羅莫夫的最佳穩定2-收縮不等式：

\mathrm{stsys}_2{}^n \leq n! \;\mathrm{vol}_{2n}(\mathbb{CP}^n)

（針對複射影空間），其最佳界由對稱的富比尼-施圖迪度量達到，這指向了與量子力學的連結。此處，黎曼流形 M 的穩定2-收縮長定義為：

\mathrm{stsys}_2 = \lambda_1\left(H_2(M,\mathbb{Z})_{\mathbb{R}}, \|\;\|\right),

其中 \|\;\| 是穩定範數，而 λ1 是該格中非零元素的最小範數。格羅莫夫的穩定不等式究竟有多特殊，直到最近才變得清晰。亦即，人們發現，與預期相反，四元射影平面上的對稱度量並非其收縮最佳度量，這與複數情況下的2-收縮長形成對比。雖然具有對稱度量的四元射影平面其中間維度穩定收縮比為10/3，但複射影4-空間的對稱度量的相應比值則為6，而目前對於這兩個空間上任意度量的此類比值的最佳可用上界為14。此上界與李代數E7的性質有關。若存在一個具有特殊Spin(7)和樂群且第四貝蒂數為1的8-流形，則14這個值事實上是最佳的。具有Spin(7)和樂群的流形已由多米尼克·喬伊斯（Dominic Joyce）深入研究。

2-收縮長的下界

同樣地，對於 k = 2 的k-收縮長，幾乎唯一一個非平凡的下界是來自規範場論與J-全純曲線的近期研究成果。對4-流形的共形2-收縮長下界的研究，已由傑克·所羅門（Jake Solomon）導出週期映射像之稠密性的一個簡化證明。

肖特基問題

收縮長最引人注目的應用之一，或許是在肖特基問題的脈絡中，由P.Buser與P.Sarnak所提出。他們在主極化阿貝爾簇中辨識出黎曼曲面的雅可比簇，為收縮算術奠定了基礎。

盧斯特尼克-施尼雷爾曼範疇

提出收縮問題時常會激發相關領域的問題。因此，學界定義並研究了流形的收縮範疇（systolic category）這一概念，展現了其與盧斯特尼克-施尼雷爾曼範疇（LS範疇）的關聯。請注意，收縮範疇（以及LS範疇）根據定義是一個整數。這兩種範疇已被證明在曲面與3-流形上是重合的。此外，對於可定向4-流形，收縮範疇是LS範疇的一個下界。一旦建立了這種聯繫，影響便是相互的：關於LS範疇的已知結果會激發收縮問題，反之亦然。

這個新不變量由Katz與Rudyak引入（見下文）。由於此不變量被發現與盧斯特尼克-施尼雷爾曼範疇（LS範疇）密切相關，因此被稱為收縮範疇。

流形 M 的收縮範疇是根據 M 的各種k-收縮長來定義的。粗略地說，其想法如下：給定一個流形 M，我們尋找最長的收縮長乘積，這個乘積能為 M 的總體積提供一個「無曲率」的下界（其常數與度量無關）。在定義中，包含 M 覆疊空間的收縮不變量也是很自然的。這樣一個「最長乘積」中的因子數量，根據定義即為 M 的收縮範疇。

例如，格羅莫夫證明了一個本質n-流形，其體積下界可以由同倫1-收縮長的n次方來表示（見上文）。由此可知，一個本質n-流形的收縮範疇恰好是n。事實上，對於閉n-流形，LS範疇與收縮範疇的最大值是同時達到的。

另一個暗示這兩種範疇之間存在有趣關聯的線索，是它們與稱為杯長（cuplength）的不變量的關係。因此，實係數杯長被證明是這兩種範疇的共同下界。

收縮範疇在許多情況下與LS範疇重合，包括維度為2和3的流形。在4維情況下，近期有研究顯示收縮範疇是LS範疇的一個下界。

收縮雙曲幾何

對於大虧格 g 的雙曲曲面收縮長的漸近行為研究，揭示了一些有趣的常數。因此，由(2,3,7)雙曲三角群的主同餘子群塔所定義的赫維茲曲面 Σg，滿足以下界限：

\mathrm{sys}\pi_1(\Sigma_g) \geq \frac{4}{3} \log g,

且一個相似的界限對更一般的算術富克斯群也成立。此為Katz、Schaps與Vishne於2007年提出的成果，推廣了Peter Buser與Peter Sarnak在他們1994年開創性論文中，針對定義在Q上之算術群的結果。

目前，關於雙曲幾何中收縮長的參考書目約有四十篇文章。有趣的例子包括博爾扎曲面、克萊因四次曲線、麥克貝斯曲面、第一赫維茲三元組。

與阿貝爾-雅可比映射的關係

透過應用Burago與Ivanov的技術，利用合適的阿貝爾-雅可比映射，可得到一系列最佳收縮不等式。其定義如下。

令 M 為一流形，π = π1(M) 為其基本群，f: π → πab 為其阿貝爾化映射。令 tor 為 πab 的撓子群。令 g: πab → πab/tor 為對撓子群的商映射。顯然，πab/tor= Zb，其中 b = b1(M)。令 φ: π → Zb 為複合的同態。

定義：流形 M 對應於子群 Ker(φ) ⊂ π 的覆疊 \bar M 稱為萬有（或最大）自由阿貝爾覆疊。

現假設 M 具有黎曼度量。令 E 為 M 上的調和1-形式空間，其對偶空間 E* 與 H1(M,R) 標準等同。透過沿著從基點 x0 ∈ M 出發的路徑對一個整係數調和1-形式進行積分，我們得到一個到圓周 R/Z = S1 的映射。

同樣地，為了在不選擇上同調基的情況下定義一個映射 M → H1(M,R)/H1(M,Z)R，我們論證如下。令 x 為 M 的萬有覆疊 \tilde{M} 中的一點。因此 x 可由 M 中的一個點以及一條從 x0 到該點的路徑 c 來表示。透過沿路徑 c 積分，我們得到 E 上的一個線性形式 h\to \int_c h。我們因此得到一個映射 \tilde{M}\to E^* = H_1(M,\mathbf{R})，此映射更可降至一個映射：

\overline{A}_M: \overline{M}\to E^*,\;\; c\mapsto \left(h\mapsto \int_c h \right),

其中 \overline{M} 是萬有自由阿貝爾覆疊。

定義：M 的雅可比簇（雅可比環面）是環面 J1(M)= H1(M,R)/H1(M,Z)R

定義：阿貝爾-雅可比映射 A_M: M \to J_1(M), 是透過對上述映射取商空間而得。阿貝爾-雅可比映射在雅可比環面的平移下是唯一的。

作為一個例子，可以引用以下由 D. Burago、S. Ivanov 與 M. Gromov 提出的不等式。

令 M 為一個第一貝蒂數為 n 的n維黎曼流形，且從 M 到其雅可比環面的映射具有非零度數。則 M 滿足最佳穩定收縮不等式：

\mathrm{stsys}_1{}^{n} \leq \gamma_n \mathrm{vol}_n(M),

其中 \gamma_n 是古典的埃爾米特常數。

相關領域，體積熵

大虧格曲面收縮長的漸近現象已被證明與有趣的遍歷現象，以及算術群的同餘子群性質有關。

格羅莫夫於1983年提出的同倫收縮長不等式，特別地，蘊含了一個以收縮長表示的非球面面積的均勻下界。這樣的界限推廣了勒夫納與浦氏不等式，儘管並非以最佳方式。

格羅莫夫1983年的開創性論文也包含了聯繫收縮長與面積的漸近界，這改進了（在所有維度均有效的）均勻界。

最近發現（見下文Katz與Sabourau的論文），體積熵 h，連同A. Katok對h的最佳不等式，是M. 格羅莫夫關於大虧格曲面收縮比之漸近界的清晰證明中「恰當的」中介。

A. Katok的古典結果指出，任何在具有負歐拉示性數的閉曲面 M 上的度量，都滿足一個聯繫熵與面積的最佳不等式。

結果發現，一個閉曲面的最小熵可與其最佳收縮比相聯繫。也就是說，一個收縮極值曲面的熵，可用其收縮長來表示一個上界。透過將此上界與Katok以體積表示的最佳下界結合，可以得到一個更簡單的替代性證明，來證明格羅莫夫對大虧格曲面最佳收縮比的漸近估計。此外，這種方法在格羅莫夫定理中產生了一個更佳的乘法常數。

作為一項應用，此方法蘊含了任何在虧格至少為20的曲面上的度量都滿足勒夫納環面不等式。這改進了先前根據格羅莫夫的估計所得到的最佳估計值50。

填充面積猜想

格羅莫夫的填充面積猜想已在超橢圓的情境下被證明（見下文Bangert等人的參考文獻）。

填充面積猜想斷言，在所有以具備強等距性質的曲面來填充長度為2π的黎曼圓的可能方式中，圓形半球面具有最小的面積。此處的黎曼圓指的是總1-體積為2π且黎曼直徑為π的唯一閉一維黎曼流形。

為解釋此猜想，我們從一個觀察開始：單位2-球面 S2 ⊂ R3 的赤道圓是一個長度為2π、直徑為π的黎曼圓 S1。

更精確地說，S1 的黎曼距離函數是球面上環境黎曼距離的限制。此性質在單位圓標準嵌入歐幾里得平面時並不滿足，因為在該平面中，一對對徑點的距離是2，而不是π。

我們考慮所有以曲面填充 S1 的方式，使得由圓作為曲面邊界的包含關係所定義的限制度量，是一個長度為2π的圓的黎曼度量。此時，圓作為邊界的包含關係稱為圓的一個強等距嵌入。

1983年，格羅莫夫猜想，在所有填充曲面中，圓形半球面是填充該圓的「最佳」方式。

單連通填充的情況等價於浦氏不等式。最近，虧格為1的填充情況也得到了肯定的解決（見下文Bangert等人的參考文獻）。也就是說，結果發現可以利用J. Hersch在半個世紀前從積分幾何中得到的一個公式。具體來說，考慮一個橄欖球上的一族8字形環路，其自交點位於赤道（見文章開頭的圖）。Hersch的公式將橄欖球共形類中的一個度量的面積，表示為該族8字形環路能量的平均值。將Hersch的公式應用於黎曼曲面的超橢圓商，便證明了此情況下的填充面積猜想。

在虧格為2的情形中，也已辨識出超橢圓性所帶來的其他收縮幾何現象。

綜述

此領域的綜述文章包括M. Berger的綜述（1993）、Gromov的綜述（1996）、Gromov的書（1999）、Berger的全景式著作（2003），以及Katz的書（2007）。這些參考資料可幫助初學者進入該領域，其中也包含了可供研究的開放問題。

參見

• 填充面積猜想
• 第一赫維茲三元組
• 圍長（泛函分析）
• 格羅莫夫對複射影空間的不等式
• 格羅莫夫對本質流形的收縮不等式
• 微分幾何主題列表
• 勒夫納環面不等式
• 浦氏不等式
• 曲面的收縮長
• 收縮自由

外部連結

• 美國數學學會(AMS)關於Mikhail Katz著作的網頁。
• 收縮幾何與拓樸學網站