懷特海德鏈環

在紐結理論中，懷特黑德環（Whitehead link）以 J. H. C. 懷特黑德命名，是最基本的環之一。它可以畫成一個有五個交叉點的交錯環，由一個圓形和一個 8 字形環圈疊加而成。

結構

一種常見的描述此環的方式是，將一個 8 字形環圈與另一個環繞其交叉點的圓形環圈疊加。這兩個無結環之間的上下關係接著被設定為交錯環，即每個環圈上的連續交叉點交替地在上與在下。此圖形有五個交叉點，其中一個是 8 字形曲線的自交叉點，這個點不計入環繞數。由於其餘的交叉點在每個環圈上都有相同數量的上交叉與下交叉，因此其環繞數為 0。它與無環（unlink）不同痕，但與無環是環同倫的。

儘管這種環的建構方式對待兩個環圈的方式不同，但這兩個環圈在拓撲上是對稱的：可以將同一個環變形為同類型的圖形，其中原先畫成 8 字形的環圈變為圓形，反之亦然。另外，此環在三維空間中也存在一些實現形式，其中兩個環圈可透過該實現形式的幾何對稱性相互對應。

在辮理論的表示法中，此環寫為

<math>\sigma^2_1\sigma^2_2\sigma^{-1}_1\sigma^{-2}_2.\,</math>

其亞歷山大多項式為

<math>\Delta (t)=t^{3/2}-3t^{1/2}+3t^{-1/2}-t^{-3/2},</math>

因為 <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}</math> 是一個可能的賽弗特矩陣，或因其康威多項式為

<math>\nabla(z)=z^3 .</math>

其瓊斯多項式為

<math>V(t) = t^{-{3 \over 2}}\left(-1 + t - 2t^2 + t^3 - 2t^4 + t^5\right).</math>

此多項式與 <math>V(1/t)</math> 是 L10a140 環之瓊斯多項式的兩個因式。值得注意的是，<math>V(1/t)</math> 是瓊斯多項式為 <math>V(t)</math> 的環之鏡像的瓊斯多項式。

體積

懷特黑德環補空間的雙曲體積是 4 倍的卡塔蘭常數，約為 3.66。懷特黑德環補空間是兩個具有最小可能體積的雙尖點雙曲流形之一，另一個是參數為 (-2, 3, 8) 的椒鹽卷餅環的補空間。

對懷特黑德環的一個分支進行德恩填充可產生 8 字結補空間的姊妹流形，而對兩個分支進行德恩填充可產生威克斯流形，這兩者分別是具一個尖點的最小體積雙曲流形之一，以及無尖點的最小體積雙曲流形。

歷史

懷特黑德環以 J. H. C. 懷特黑德命名，他在 1930 年代花費大量時間尋找龐加萊猜想的證明。1934 年，他利用此環建構了現今稱作懷特黑德流形的空間，從而推翻了他自己先前聲稱的猜想證明。

參見

• 所羅門結
• 威克斯流形
• 懷特黑德重環

外部連結

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