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''辛馬斯特猜想'''（Singmaster's conjecture）是組合數論中的一個猜想，以1971年提出此猜想的英國數學家大衛·辛馬斯特（David Singmaster）命名。該猜想指出，在帕斯卡三角形中，任何一個數（數字1除外，它會出現無限多次）的出現次數存在一個有限的上界。顯然，帕斯卡三角形中唯一出現無限多次的數是1，因為任何其他的數 x 最多只會出現在三角形的前 x+1 行中。

==猜想陳述==
設 N(a) 為數字 a > 1 在帕斯卡三角形中出現的次數。用大O符號表示，此猜想為：

:<math>N(a) = O(1).</math>

==已知的界==

辛馬斯特 (1971) 證明了

:<math>N(a) = O(\log a).</math>

Abbott、Erdős 和 Hanson (1974)（見參考資料）將此估計改進為：

:<math>N(a) = O\left(\frac{\log a}{\log \log a}\right).</math>

目前已知最佳的（無條件）界是

:<math>N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right),</math>

由 Kane (2007) 提出。Abbott、Erdős 和 Hanson 指出，在關於連續質數間隙的克拉默猜想成立的條件下，

:<math> N(a) = O\left( (\log a)^{2/3+\varepsilon}\right) </math>

對於每一個 <math>\varepsilon > 0 </math> 均成立。

辛馬斯特 (1975) 證明了丟番圖方程式

:<math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2}</math>

對於兩個變數 n, k 有無限多組解。由此可知，有無窮多個數在三角形中出現至少6次：對於任何非負整數 i，一個在帕斯卡三角形中出現六次的數 a 可由上述兩個表達式給出，其中

:<math>n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,</math>

:<math>k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,</math>

此處 Fj 是第 j 個斐波那契數（根據 F0=0 和 F1=1 的慣例索引）。上述兩個表達式定位了其中兩次出現；另外兩次以對稱方式出現；剩下兩次則為 <math>{a \choose 1}</math> 和 <math>{a \choose a-1}。</math>

==基本範例==

* 2 只出現一次；所有更大的正整數出現超過一次；
* 3、4、5 各出現兩次；有無限多個數恰好出現兩次；
* 所有奇質數出現兩次；
* 6 出現三次，除了1和2之外的所有中央二項式係數也都出現三次；（原則上不排除這樣的係數會出現五次、七次或更多次，但目前尚未發現任何例子）
* 所有形如 <math>{p \choose 2}</math> （其中 <math>p>3</math> 為質數）的數都出現四次；
* 有無限多個數恰好出現六次，包括以下每個數：
:: <math>120 = {120 \choose 1} ={120 \choose 119} = {16 \choose 2} ={16 \choose 14} = {10 \choose 3} ={10 \choose 7}</math>

:: <math>210 = {210 \choose 1} ={210 \choose 209} = {21 \choose 2} ={21 \choose 19} = {10 \choose 4}={10 \choose 6}</math>

:: <math>1540 = {1540 \choose 1} ={1540 \choose 1539} = {56 \choose 2} ={56 \choose 54} = {22 \choose 3} = {22 \choose 19}</math>

:: <math>7140 = {7140 \choose 1} ={7140 \choose 7139} = {120 \choose 2} ={120 \choose 118} = {36 \choose 3} = {36 \choose 33}</math>

:: <math>11628 = {11628 \choose 1} = {11628 \choose 11627} = {153 \choose 2} = {153 \choose 151} = {19 \choose 5} = {19 \choose 14}</math>

:: <math>24310 = {24310 \choose 1} = {24310 \choose 24309} = {221 \choose 2} = {221 \choose 219} = {17 \choose 8} = {17 \choose 9}</math>

: 在辛馬斯特的無限數列（以斐波那契數定義）中的下一個數，同時也是下一個出現六次或以上的最小數是 <math>a = 61218182743304701891431482520</math>：

:: <math>a = {a \choose 1} = {a \choose a-1} = {104 \choose 39} = {104 \choose 65} = {103 \choose 40} = {103 \choose 63}</math>

* 出現八次的最小數——事實上也是唯一已知出現八次的數——是 3003，它同時也是辛馬斯特無限數列中出現次數至少為6的成員之一：

:: <math>3003 = {3003 \choose 1} = {78 \choose 2} = {15 \choose 5} = {14 \choose 6} = {14 \choose 8} = {15 \choose 10} = {78 \choose 76} = {3003 \choose 3002} </math>

: 目前尚不清楚是否有無限多個數出現八次，甚至不知道除了 3003 之外是否還有其他數出現八次。

數字 n 在帕斯卡三角形中出現的次數為
:∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ...

根據 Abbott、Erdős 和 Hanson (1974) 的研究，在帕斯卡三角形中，不大於 x 且出現超過兩次的整數個數為 <math>O(x^{1/2})</math>。

在帕斯卡三角形中，大於1 且出現（至少）n 次的最小自然數為
:2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ...

在帕斯卡三角形中出現至少五次的數為
:1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ...

其中，屬於辛馬斯特無限數列的數為
:1, 3003, 61218182743304701891431482520, ...

==未解問題==

目前尚不清楚是否有任何數字出現超過八次，也不知道除了 3003 之外是否還有其他數字出現這麼多次。猜想的有限上界可能小至 8，但辛馬斯特本人認為可能是 10 或12。同樣未知的是，是否有任何數字恰好出現五次或七次。

==參見==
* 二項式係數

==參考資料==

[[分類: 待校正]]

辛馬斯特猜想 - 修訂紀錄

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