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2025-10-21T20:35:49Z

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在數學中，ADE分類（最初為'''A-D-E classifications'''）指的是某些類型的物件與單邊鄧金圖（simply laced Dynkin diagram）之間存在對應關係的情況。中提出了為這些分類提供一個共同起源的問題，而非僅是事後驗證其平行性。完整的單邊鄧金圖列表包括：
:A_n, \, D_n, \, E_6, \, E_7, \, E_8.

此處「單邊」（simply laced）意指圖中沒有多重邊，這對應於根系中所有單根（simple root）之間夾角為 \pi/2 = 90^\circ（頂點間無邊）或 2\pi/3 = 120^\circ（頂點間有單邊）。這些是四族鄧金圖中的兩族（省略了 B_n 與 C_n），以及五種例外鄧金圖中的三種（省略了 F_4 與 G_2）。

若對 D_n 取 n \geq 4，則此列表無冗餘。若將這些族系擴展以包含冗餘項，則可得到例外同構：
:D_3 \cong A_3, E_4 \cong A_4, E_5 \cong D_5,
以及被分類物件的相應同構。

A、D、E 的命名法也透過相同的圖產生了單邊有限考克斯特群：在這種情況下，鄧金圖與考克斯特圖完全重合，因為沒有多重邊。

== 李代數 ==
就複半單李代數而言：
* A_n 對應 \mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{C})，即無跡算子的特殊線性李代數，
* D_n 對應 \mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{C})，即偶數維斜對稱算子的偶特殊正交李代數，以及
* E_6, E_7, E_8 是五種例外李代數中的三種。

就緊李代數與對應的單邊李群而言：
* A_n 對應 \mathfrak{su}_{n+1}，即特殊么正群 SU(n+1) 的代數；
* D_n 對應 \mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{R})，即偶射影特殊正交群 PSO(2n) 的代數，而
* E_6, E_7, E_8 是五種例外緊李代數中的三種。

== 二元多面體群 ==
同樣的分類也適用於 SU(2) 的離散子群，即二元多面體群；嚴格來說，二元多面體群對應於單邊仿射鄧金圖 \tilde A_n, \tilde D_n, \tilde E_k, 且這些群的表示可以用這些圖來理解。此關聯稱為「麥凱對應」（McKay correspondence），以約翰·麥凱命名。其與柏拉圖固體的關聯在中有描述。此對應關係使用了麥凱圖的建構。

注意，ADE對應並非柏拉圖固體與其對稱反射群之間的對應：例如，在ADE對應中，四面體、立方體／八面體、十二面體／二十面體分別對應於 E_6, E_7, E_8, 而四面體、立方體／八面體、十二面體／二十面體的反射群反而是考克斯特群 A_3, BC_3, 和 H_3. 的表示。

使用每個離散子群所建構的 \mathbf{C}^2 軌形會在原點產生一個 ADE 型奇異點，稱為杜瓦爾奇異點（du Val singularity）。

麥凱對應可透過使用一對二元多面體群，擴展至多邊鄧金圖。這被稱為斯洛多維對應（Slodowy correspondence），以彼得·斯洛多維（Peter Slodowy）命名——見。

== 標號圖 ==
ADE圖與擴展（仿射）ADE圖也可藉由具備特定性質的標號來刻劃，這些性質可以用離散拉普拉斯算子或嘉當矩陣來陳述。以嘉當矩陣證明的版本可見於。

仿射ADE圖是唯一允許以下性質之正標號（以正實數標記節點）的圖：
:任一標號的兩倍等於相鄰頂點標號之和。
也就是說，它們是離散拉普拉斯算子（相鄰頂點值之和減去該頂點值）特徵值為1的唯一正函數——即齊次方程的正解：
:\Delta \phi = \phi.\
等價地說，是 \Delta - I 的核中的正函數。如此產生的編號在尺度上是唯一的，若將其正規化使最小數字為1，則其由一些小整數組成——視圖而定，範圍從1到6。

普通ADE圖是唯一允許以下性質之正標號的圖：
:任一標號的兩倍減二等於相鄰頂點標號之和。
以拉普拉斯算子而言，是非齊次方程的正解：
:\Delta \phi = \phi - 2.\
如此產生的編號是唯一的（尺度由「2」指定）且由整數組成；對E8而言，其範圍從58到270，且早在中就已被觀察到。

== 其他分類 ==
初等突變也由ADE分類法進行分類。

根據加百利定理，ADE圖正好是有限型的箭圖。

ADE分類與廣義四邊形之間也存在聯繫，因為每條線上三點的三個非退化廣義四邊形分別對應三個例外根系 E6、E7 和 E8。
A 和 D 類分別對應線集為空或所有線都通過一個固定點的退化情況。

有人提出，小液滴團簇的對稱性可能也服從ADE分類。

二維共形場論的最小模型具有ADE分類。

具有么正規範群的四維 \mathcal{N}=2 超共形規範箭袋理論具有ADE分類。

== 分類的擴展 ==
阿諾德（Arnold）後來在此分類方案中提出了許多進一步的擴展，其想法是在根系的單一框架下，重新審視並推廣考克斯特分類與鄧金分類。
他試圖基於皮卡-萊夫謝茨理論與莫爾斯理論之間的類比，引入複化（Complexification）與辛化（Symplectization）的非正式概念，並將他視為莫爾斯理論的複化版本，然後將其擴展到數學的其他領域。他也試圖識別數學物件與理論之間的層級和對應關係，例如，微分同胚對應鄧金分類的A型，保體積微分同胚對應B型，而辛同胚則對應C型。
本著同樣的精神，他重新審視了不同數學物件之間的類比，例如，在微分同胚範疇中的李括號變得與辛同胚的帕松括號相似（同時也將其作為特例包含在內）。

== 三位一體 ==
阿諾德在「數學三位一體」的標題下進一步擴展了此概念。麥凱也沿著平行且時有重疊的路線擴展了他的對應關係。阿諾德稱這些為「三位一體」，以喚起宗教意涵，並暗示（目前）這些平行性更多地依賴於信念而非嚴格的證明，儘管某些平行性已得到闡述。其他作者也提出了更多的三位一體。阿諾德的三位一體始於 R/C/H（實數、複數與四元數），他評論道「眾所周知」，並進而將其他三位一體想像成古典（實數）數學的「複化」與「四元數化」，這與他先前在1970年代提出的尋找經典黎曼幾何的辛類比相似。除了微分拓撲學的例子（如特徵類），阿諾德還認為三種柏拉圖對稱性（四面體、八面體、二十面體）分別對應於實數、複數和四元數，這接著與下文麥凱更具代數性的對應聯繫起來。

麥凱的對應關係較易描述。首先，擴展鄧金圖 \tilde E_6, \tilde E_7, \tilde E_8（分別對應四面體、八面體、二十面體對稱性）的對稱群分別為 S_3, S_2, S_1, 相關的折疊圖為 \tilde G_2, \tilde F_4, \tilde E_8（注意，在較不嚴謹的寫法中，擴展（波浪號）的限定詞常被省略）。更重要的是，麥凱提出了 \tilde E_8 圖的節點與魔群的某些共軛類之間的對應，這被稱為「麥凱的E8觀察」；亦見魔群月光。麥凱進一步將 \tilde E_7 的節點與 2.B（小魔群的一個2階擴展）中的共軛類聯繫起來，並將 \tilde E_6 的節點與 3.Fi''24'（費雪群的一個3階擴展）中的共軛類聯繫起來——注意，這三個是最大的散在群，且擴展的階數與圖的對稱性相對應。

從大的單群轉向小的單群，相應的柏拉圖群 A_4, S_4, A_5 與射影特殊線性群 PSL(2,5)、PSL(2,7) 與 PSL(2,11)（階數分別為 60、168、660）有關，這被視為一種「麥凱對應」。這些群是唯一（單）的 p 值，使得 PSL(2,p) 能非平凡地作用於 p 個點上，這一事實可追溯至1830年代的埃瓦里斯特·伽羅瓦。事實上，這些群可分解為集合的積（而非群的積）：A_4 \times Z_5, S_4 \times Z_7, 和 A_5 \times Z_{11}.。這些群也與各種幾何學相關，這可追溯至1870年代的菲利克斯·克萊因；歷史討論見二十面體對稱性：相關幾何學，近期闡述見。可觀察到 p 點作用的相關幾何（黎曼曲面上的鑲嵌）如下：PSL(2,5) 是二十面體（虧格為0）的對稱群，以五個四面體的複合體為5元集；PSL(2,7) 是克萊因四次曲線（虧格為3）的對稱群，以嵌入的（互補）法諾平面為7元集（2階雙平面）；而 PSL(2,11) 則是 ''''''（虧格為70）的對稱群，以嵌入的佩利雙平面為11元集（3階雙平面）。其中，二十面體可追溯至古代，克萊因四次曲線至1870年代的克萊因，而巴克球曲面則至2008年的帕布羅·馬丁與大衛·辛格曼。

代數幾何上，麥凱亦將 E6、E7、E8 分別與以下物件聯繫起來：三次曲面上的27條線、平面四次曲線的28條雙切線、以及虧格為4的典範六次曲線的120個三切面。其中第一個聯繫眾所周知，第二個則聯繫如下：將三次曲面從任一不在線上的點投影，會得到一個平面上的雙重覆蓋，分支於一條四次曲線上，27條線映射至28條雙切線中的27條，而第28條線則是奇異點炸開的例外曲線的像。注意，E6、E7、E8 的基本表示維度分別為 27、56 (28·2) 與 248 (120+128)，而根的數量則為 27+45 = 72、56+70 = 126 與 112+128 = 240。
這也應符合將 E8,7,6 與三個最大的散在單群——魔群、小魔群和費雪群24'——相聯繫的框架，參見魔群月光。

== 參見 ==

* 橢圓曲面
* 突變理論ADE分類

== 參考文獻 ==

== 來源 ==

* 問題 VIII. A-D-E 分類 (V. Arnold).

== 外部連結 ==
* John Baez, This Week's Finds in Mathematical Physics: Week 62, Week 63, Week 64, Week 65, August 28, 1995, through October 3, 1995, and Week 230, May 4, 2006
* The McKay Correspondence, Tony Smith
* ADE classification, McKay correspondence, and string theory, Luboš Motl, The Reference Frame, May 7, 2006

Category:李群

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