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2025-09-25T13:15:33Z

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在數學分支拓撲學中，兩個帶基點空間（即帶有選定基點的拓撲空間）X 與 Y 的楔積 (smash product)，是在等同關係 (x, y_0) \sim (x_0, y)（對所有 x \in X 與 y \in Y）下，積空間 X \times Y 的商空間。楔積本身也是一個帶基點空間，其基點是 (x_0, y_0) 的等價類。楔積通常記作 X \wedge Y 或 X \smash Y。楔積的結果取決於基點的選擇（除非 X 和 Y 都是齊性空間）。

可以將 X 和 Y 看作是坐落在 X \times Y 內的子空間 X \times \{y_0\} 和 \{x_0\} \times Y。這些子空間相交於一點：(x_0, y_0)，即 X \times Y 的基點。因此，這些子空間的聯集可被視為楔和 X \vee Y = (X \amalg Y)\;/{\sim}。具體而言，X \times \{y_0\} 中的點 (x, y_0) 會與 X \vee Y 中的 x 等同，同理，\{x_0\} \times Y 中的點 (x_0, y) 會與 y 等同。在 X \vee Y 中，子空間 X 與 Y 相交於單點 x_0 \sim y_0。於是楔積即為商空間：
:X \wedge Y = (X \times Y) / (X \vee Y).

楔積出現於代數拓撲學的一支同倫理論中。在同倫理論中，所處理的空間範疇，通常異於所有拓撲空間所構成的範疇。在其中一些範疇中，楔積的定義必須稍作修改。例如，若在定義中使用 CW 複形的積，而非積拓撲，則兩個 CW 複形的楔積也會是一個 CW 複形。在其他範疇中，也需要類似的修改。

==範例==

* 任何帶基點空間 X 與一個 0 維球面（具有兩點的離散空間）的楔積，與 X 同胚。
* 兩個圓周的楔積是環面的一個商空間，且與 2 維球面同胚。也就是說，它是環面 (S^1\times S^1) 對 8 字形空間 (S^1\vee S^1) 的商空間。這可以透過以下方式形象化：取環面最內側的緯線與一條經線的聯集，並假定它們的交點為基點。兩個在單點相交的圓周之聯集與 8 字形空間同胚，接著將此 8 字形空間塌縮為一個點，所得到的商空間即與 2 維球面同胚（見圖）。
* 更廣義地說，兩個球面 Sm 與 Sn 的楔積，與球面 Sm+n 同胚。
* 一個空間 X 與一個圓周的楔積，與 X 的降懸置 (reduced suspension) 同胚：
\Sigma X \cong X \wedge S^1.
* X 的 k 次疊代降懸置，與 X 和一個 k 維球面的楔積同胚：
\Sigma^k X \cong X \wedge S^k.
* 在域理論中，取兩個域的積（使其積對其參數是嚴格的）。

==作為對稱么半群積==
對於一個合適的「方便」範疇（例如，緊生成空間範疇）中的任何帶基點空間 X、Y 和 Z，存在自然的（保基點的）同胚：
:<math>\begin{align}
X \wedge Y &\cong Y\wedge X, \\
(X\wedge Y)\wedge Z &\cong X \wedge (Y\wedge Z).
\end{align}</math>
然而，對於樸素的帶基點空間範疇，此性質不成立，如 Dieter Puppe 所找到的反例 X=Y=\mathbb{Q} 與 Z=\N 所示。在 J. Peter May 與 Johann Sigurdsson 的書中，可以找到由 Kathleen Lewis 提出的證明，證實 Puppe 的反例確實是一個反例。

這些同構使得合適的帶基點空間範疇，構成一個對稱么半群範疇，其中楔積為么半群積，而帶基點的 0 維球面（一個兩點離散空間）為單位對象。因此，可以將楔積視為在合適的帶基點空間範疇中的一種張量積。

==伴隨關係==
伴隨函子使張量積與楔積之間的類比更加精確。在交換環 R 上的 R-模範疇中，張量函子 (- \otimes_R A) 是內部 Hom 函子 \mathrm{Hom}(A,-) 的左伴隨，因此：
:\mathrm{Hom}(X\otimes A,Y) \cong \mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y)).
在帶基點空間範疇中，楔積在此公式中扮演張量積的角色：若 A, X 是緊豪斯多夫空間，則我們有伴隨關係：
:\mathrm{Maps_*}(X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Maps_*}(X,\mathrm{Maps_*}(A,Y))

其中 \operatorname{Maps_*} 表示將基點映射到基點的連續映射，而 \mathrm{Maps_*}(A,Y) 具有緊緻開拓撲。

特別地，當 A 取為單位圓 S^1 時，我們可以看到降懸置函子 \Sigma 是環路空間函子 \Omega 的左伴隨：
:\mathrm{Maps_*}(\Sigma X,Y) \cong \mathrm{Maps_*}(X,\Omega Y).

==註記==

==參考資料==

[[分類: 待校正]]

楔積 - 修訂紀錄

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