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2025-10-21T13:26:51Z

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在數學中，**分界線**（separatrix）是微分方程中分隔兩種行為模式的邊界。

==範例==

=== 單擺 ===

考慮描述單擺運動的微分方程：

:{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0.

其中 \ell 為擺長，g 為重力加速度，\theta 為擺線與垂直向下的夾角。在此系統中，存在一個守恆量 H（漢米爾頓量），其表示式為

H = \frac{\dot{\theta}^2}{2} - \frac{g}{\ell}\cos\theta.

定義了 H 之後，便可以在系統的相空間中繪製 H 為常數的曲線。相空間是一個以 \theta 為橫軸、\dot{\theta} 為縱軸的圖（見右方縮圖）。所得曲線的類型取決於 H 的值。

若 H<-\frac{g}{\ell}，則曲線不存在（因為 \dot{\theta} 必為虛數）。

若 -\frac{g}{\ell}<H<\frac{g}{\ell}，則曲線會是一條簡單的閉合曲線，在 H 較小時接近圓形，當 H 趨近其上界時則呈現「眼睛」形狀。這些曲線對應於擺錘週期性地來回擺動。

若 \frac{g}{\ell}<H，則曲線是開放的，這對應於擺錘不停地作完整的圓周運動。

在此系統中，分界線是 H=\frac{g}{\ell} 所對應的曲線。它將相空間分離（故得此名）成兩個不同的區域，每個區域都有一種獨特的運動類型。分界線內部的區域包含了所有對應於擺錘來回擺盪的相空間曲線，而分界線外部的區域則包含了所有對應於擺錘在垂直平面上持續作圓周運動的相空間曲線。

=== 費茲休-南雲模型 ===

在費茲休-南雲模型中，當線性的零斜跡線在左、中、右三個分支上各與三次的零斜跡線相交一次時，系統便會出現一條分界線。分界線左側的軌跡會收斂至左邊的穩定平衡點，右側的軌跡亦然。分界線本身是中間鞍點的穩定流形。詳見該頁面。

透過對時間作倒溯的數值求解，可以清楚地看到分界線。因為當對時間作正向求解時，軌跡會從分界線發散；而當對時間作倒溯求解時，軌跡則會收斂至分界線。

==參考資料==

==外部連結==
* MathWorld 上的分界線條目。

Category:動力系統

[[分類: 待校正]]

分離線（數學） - 修訂紀錄

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