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葉元理論 (Blade element theory, BET) 是一種數學方法，最初由威廉·弗勞德 (William Froude, 1878)、大衛·W·泰勒 (David W. Taylor, 1893) 和斯特凡·德熱維耶茨基 (Stefan Drzewiecki, 1885) 設計，用於確定螺旋槳的性能。該理論將葉片分解為數個微小部分，然後確定作用在每個微小葉元上的力。接著，這些力會沿著整個葉片及旋翼旋轉一週進行積分，以獲得整個螺旋槳或旋翼產生的力與力矩。其中一個主要困難在於模擬旋翼盤上的誘導速度。因此，葉元理論常與動量理論結合，以提供描述旋翼盤上誘導速度所需的額外關係式，從而產生葉元動量理論。在最基本的近似層級，假設旋翼盤上的誘導速度是均勻的：
:<math>v_i = \sqrt{\frac{T}{A} \cdot \frac{1}{2 \rho}}.</math>

另一種方法是，可以將葉片分解成許多微小的環帶，並對每個環帶應用質量、動量和能量守恆定律，來模擬誘導速度沿半徑的變化。這種方法有時被稱為弗勞德-芬斯特瓦德方程式。

如果將葉元法應用於前飛狀態下的直升機旋翼，則必須考慮葉片的揮舞運動以及旋翼盤上誘導速度的縱向和橫向分佈。最簡單的前飛流入模型是一次諧波模型。

== 簡單葉元理論 ==

雖然動量理論有助於確定理想效率，但它對螺旋推進器作用的描述非常不完整，忽略了力矩等因素。為了更詳細地研究螺旋槳的作用，人們將葉片視為由許多微小葉元組成，並計算每個葉元上的空氣動力。因此，動量理論處理的是空氣的流動，而葉元理論主要處理作用在螺旋槳葉片上的力。分析螺旋槳葉片微元條帶上作用力的想法最早由威廉·弗勞德於1878年發表。德熱維耶茨基也獨立地完成了這項工作，並在他七年後於1885年在俄羅斯出版的一本關於機械飛行的書中給出。同樣地，在1907年，蘭徹斯特在不了解前人研究的情況下，發表了一種更為先進的葉元理論形式。然而，簡單葉元理論通常被稱為德熱維耶茨基理論，因為是德熱維耶茨基將其付諸實用並使其得到普遍應用。此外，他也是第一個將葉元上的力加總以獲得整個螺旋槳推力和力矩的人，也是第一個提出使用翼型數據來尋找葉元上作用力的人。

在德熱維耶茨基的葉元理論中，螺旋槳被視為一個翹曲或扭轉的翼型，其每個分段都沿著螺旋路徑運動，並被當作普通機翼的一個分段來處理。在簡單理論中，通常假設從模型機翼（通常以展弦比為6進行測試）的風洞測試中獲得的翼型係數，可直接應用於具有相同橫截面形狀的螺旋槳葉元。

每個葉元周圍的氣流被視為二維的，因此不受葉片相鄰部分的影響。任何給定半徑處的葉元相對於相鄰葉元的獨立性已在理論上得到證實，並且透過專門為此目的進行的特殊實驗，也證明對於葉片的工作剖面而言，這基本上是正確的。理論還假設空氣流過螺旋槳時沒有徑向流動（即，滑流在通過螺旋槳盤時沒有收縮），並且沒有葉片干擾。

=== 作用於葉元的空氣動力 ===
考慮位於半徑 r 處的葉元，如圖1所示，其無限小長度為 dr，寬度為 b。飛行中飛機螺旋槳上葉元的運動是沿著一條螺旋路徑，該路徑由飛機的前進速度 V 和葉元在螺旋槳盤平面內的切線速度 2πrn 決定，其中 n 代表單位時間的轉速。葉元相對於空氣的速度 Vr 則是前進速度和切線速度的合速度，如圖2所示。我們稱葉元運動方向與旋轉平面之間的夾角為 Φ，葉片角為 β。則葉元相對於空氣的攻角 α 為 <math>\alpha=\beta-\phi</math>。

應用普通翼型係數，作用於葉元的升力為：

:<math>dL = \frac{1}{2}V_r^2 \rho C_L b \, dr.</math>

設 γ 為升力分量與合力之間的夾角，或 <math display="inline">\gamma=\arctan\frac{D}{L}</math>。則作用於葉元的總空氣合力為：<math display="block">dR=\frac{\frac{1}{2}V_r^2 C_L b \, dr}{\cos\gamma}.</math>

葉元的推力是合力在螺旋槳軸線方向上的分量（圖2），或
<math display="block">\begin{align}
dT & = dR\cos(\phi+\gamma) \\
& = \frac{\frac{1}{2}V_r^2C_L b\cos(\phi+\gamma)}{\cos\gamma} dr,
\end{align}</math>
且因為 <math display="inline">V_r=\frac{V}{\sin\phi}</math>
<math display="block">dT = \frac{\frac{1}{2}V^2 C_L b\cos(\phi+\gamma)}{\sin^2\phi\cos\gamma} dr.</math>

為方便起見，設
<math display="block">K=\frac{C_Lb}{\sin^2\phi\cos\gamma}</math>
及
<math display="block">T_c=K\cos(\phi+\gamma).</math>

則
<math display="block">dT = \frac{1}{2}\rho V^2 T_c \, dr,</math>
而整個螺旋槳（有 B 個葉片）的總推力為：
<math display="block">T=\frac{1}{2}\rho V^2B\int_{0}^{R} T_c \, dr.</math>

再參考圖2，切向力或力矩力為

:<math>dF=dR\sin(\phi+\gamma),</math>

而作用於葉元的力矩為

:<math>dQ = r \, dR \, \sin(\phi+\gamma),</math>

若 <math display="inline">Q_c=Kr\sin(\phi+\gamma)</math>，則可寫為

:<math>dQ=\frac{1}{2}\rho V^2 Q_c dr.</math>

因此，整個螺旋槳的力矩表達式為

:<math>Q = \frac{1}{2}\rho V^2 B\int_{0}^{R} Q_c dr.</math>

螺旋槳吸收的馬力，或稱力矩馬力，為

:<math>QHP=\frac{2\pi nQ}{550}</math>

而效率為

:<math>\eta=\frac{THP}{QHP}=\frac{TV}{2\pi nQ}.</math>

=== 效率 ===
由於葉片寬度、角度和翼型剖面沿葉片變化，因此無法為一般螺旋槳的推力、力矩和效率得出一個簡單的表達式。然而，位於翼尖半徑約三分之二或四分之三處的單一葉元，相當能代表整個螺旋槳，因此研究單一葉元的效率表達式是很有趣的。一個葉元的效率是有用功率與吸收功率之比，或

:<math>\begin{align} \eta & = \frac{dTV}{dQ2\pi n} \\ & = \frac{dR\cos(\phi+\gamma)V}{dR\sin(\phi+\gamma)2\pi nr} \\ & = \frac{\tan\phi}{\tan(\phi+\gamma)}. \end{align}</math>

現在，tan Φ 是前進速度與切線速度之比，而 <math display="inline">\tan\gamma=\frac{D}{L}</math>。因此，根據簡單葉元理論，螺旋槳葉元的效率僅取決於前進速度與切線速度之比，以及翼型剖面的 <math display="inline">\frac{D}{L}</math>。

將效率對 Φ 微分並令其結果為零，可求得使葉元效率達到最大的 Φ 值為

<math display="block">\phi=45^\circ-\frac{\gamma}{2}</math>

效率隨 Φ 的變化如圖3所示，圖中顯示了兩個 γ 的極端值。效率在 <math display="inline">45^\circ-\frac{\gamma}{2}</math> 時達到最大值，然後在 <math display="inline">90^\circ-\gamma</math> 時再次降至零。當 <math display="inline">\frac{L}{D}</math> 為 28.6 時，根據簡單理論，葉元的最高可能效率為 0.932；而當 <math display="inline">\frac{L}{D}</math> 為 9.5 時，效率僅為 0.812。在大多數螺旋槳最重要葉元工作的 Φ 值範圍內（10° 至 15°），<math display="inline">\frac{L}{D}</math> 對效率的影響更大。在 10° 至 15° 的範圍內，圖3中的曲線表明，翼型剖面的 <math display="inline">\frac{L}{D}</math> 和角度 Φ（或每轉前進距離，因此也包括螺距）都盡可能高是有利的。

=== 局限性 ===
根據動量理論，通過螺旋槳的空氣會被賦予一個速度，而這個速度的一半在空氣到達螺旋槳平面時就已經被賦予了。空氣在進入螺旋槳盤時的速度增加稱為流入速度。這種現象總是在流體中存在壓力不連續性的地方出現。對於水平移動的機翼，空氣會被賦予一個向下的速度，如圖4所示，理論上這個速度的一半是在機翼前方和上方賦予的，另一半則是在下方和後方。

這種誘導下洗流存在於模型機翼的測試中，而葉元理論所使用的翼型係數正是從這些測試中獲得的；因此，動量理論所指出的流入速度在簡單葉元理論中已自動被考慮進去。然而，對於不同的展弦比，誘導下洗流的差異很大，對於無限展弦比，其值為零。大多數模型翼型的測試都是使用展弦比任意選定為6的矩形機翼進行的，沒有理由假設這種測試中的下洗流與螺旋槳每個葉元的流入速度相對應。事實上，從一系列詳盡的測試（在這些測試中，測量了在風洞中運轉的模型螺旋槳12個剖面的壓力分佈）得出的普遍結論是，螺旋槳葉元的升力係數與在相同攻角下測量的展弦比為6的翼型的升力係數有很大差異。這是簡單葉元理論最大的弱點之一。

另一個弱點是沒有考慮螺旋槳葉片之間的干擾。在任何特定半徑處的葉元構成一個葉柵，類似於具有負交錯的多翼機，如圖5所示。在葉尖附近，間隙較大，干擾非常小，但越靠近葉根，干擾就越大。

在實際的螺旋槳中，存在著葉元理論沒有考慮到的翼尖損失。因此，透過該理論計算出的推力和力矩，對於靠近葉尖的葉元來說，會比實驗測得的值更大。

為了消除尺度效應，模型機翼的風洞測試應在與螺旋槳葉片中相應葉元相同的雷諾數（尺度）值下進行。在非常低的尺度下（例如，在30英里/小時的風速下測試3英寸弦長的翼型）測量的翼型特性，會顯示出在與螺旋槳葉元相當的尺度下進行測試時所沒有的奇特現象。圖11、12、13和14中給出的標準螺旋槳剖面特性是從NACA的變密度風洞中進行的高雷諾數測試中獲得的，幸運的是，除了最厚的剖面外，所有這些剖面在高低雷諾數下的特性差異很小。這些值可用於在葉尖速度遠低於空氣中音速運轉的螺旋槳，因此相對不受任何可壓縮性效應的影響，其尺度準確性是合理的。

杜蘭德 (Durand) 和萊斯利 (Lesley) 的一份報告清楚地顯示了簡單葉元理論的準確性不佳，他們在報告中計算了大量（80個）模型螺旋槳的性能，並將計算值與模型螺旋槳本身測試得到的實際性能進行了比較。用作者的話說：<blockquote>兩組結果之間的差異，雖然顯示出某些一致性，但總體上太大且分佈過於隨意，因此無法證明使用這種最簡單形式的理論，除了用於近似估計或比較目的之外，是合理的。</blockquote>這些翼型在兩個不同的風洞中進行了測試，並在其中一個風洞中以兩種不同的風速進行測試，從這三組翼型數據計算出的螺旋槳特性差異高達28%，這有力地說明了翼型測試必須在正確的尺度下進行的必要性。

儘管有其種種不準確之處，簡單葉元理論在經驗豐富的螺旋槳設計師手中一直是一個有用的工具。憑藉此理論，一位熟練的設計師，若了解合適的經驗因子，可以設計出通常能很好地滿足主要條件的螺旋槳，因為它們能在幾乎正確的轉速下吸收引擎功率。然而，它們不一定是最適合其用途的最高效率螺旋槳，因為簡單理論的準確性不足以顯示出由於螺距分佈、平面形狀等變化而引起的微小效率差異。

=== 範例 ===

在選擇一個螺旋槳進行分析時，最好其空氣動力特性是已知的，以便可以檢驗計算結果的準確性。分析的螺旋槳最好在相對較低的葉尖速度下運轉，以避免任何可壓縮性的影響，並且應在沒有機身干擾的情況下運轉。唯一滿足所有這些條件的螺旋槳測試是在風洞中對模型螺旋槳的測試。因此，我們將以杜蘭德博士 (Dr. W. F. Durand) 在史丹佛大學測試的一系列標準海軍形式模型木製螺旋槳的中心或主螺旋槳作為我們的範例。這是一個雙葉螺旋槳，直徑3英尺，具有2.1英尺的均勻幾何螺距（或螺距直徑比為0.7）。葉片採用基於R.A.F-6翼型（圖6）的標準螺旋槳剖面，葉片寬度、厚度和角度如表I的第一部分所示。在我們的分析中，我們將考慮螺旋槳以40英里/小時的速度前進，並以1,800轉/分鐘的速率轉動。對於翼尖半徑75%處的剖面，半徑為1.125英尺，葉片寬度為0.198英尺，厚度比為0.107，下弧面為零，葉片角 β 為16.6°。

前進速度
<math display="block">\begin{align}
V &= 40\  \mathrm{m.p.h.}\\
 & = \frac{40\times88}{60} \\
& = 58.65\ \text{ft./sec.},
\end{align}</math>

以及
<math display="block">\begin{align} n & = \frac{1800}{60} \\ & = 30\ \text{r.p.s.} \end{align}</math>

路徑角

:<math>\begin{align} \phi& = \arctan\frac{V}{2\pi rn} \\ & = \arctan\frac{58.65}{2\pi\times1.125\times30} \\ & = 15.5^\circ \end{align}</math>

因此攻角為

:<math>\begin{align} \alpha & = \beta-\phi \\ & = 16.6^\circ-15.5^\circ \\ & = 1.1^\circ \\ \end{align}</math>

根據圖7，對於厚度比為0.107的平底剖面，在1.1°攻角下，γ = 3.0°；根據圖9，C<sub>L</sub> = 0.425。（對於有下弧面的剖面，C<sub>L</sub>應根據圖8中給出的關係進行修正，而γ的值與僅有上弧面的平底剖面相同。）

則

:<math>\begin{align} K & = \frac{C_Lb}{\sin^2\phi\cos\gamma} \\ & = \frac{0.425\times0.198}{0.2672^2\times0.999} \\ & = 1.180, \end{align}</math>

並且，

:<math>\begin{align} T_C & = K\cos(\phi+\gamma) \\ & = 1.180\times\cos18.5^\circ \\ & = 1.119. \\ \end{align}</math>

此外，

:<math>\begin{align} Q_C & = Kr\sin(\phi+\gamma) \\ & = 1.180\times1.125\times\sin18.5^\circ \\ & = 1.421. \end{align}</math>

螺旋槳六個代表性葉元的 T<sub>c</sub> 和 Q<sub>c</sub> 計算以方便的表格形式呈現在表I中，而 T<sub>c</sub> 和 Q<sub>c</sub> 的值則繪製在圖9中，以半徑為橫軸。通過這些點繪製的曲線有時被稱為力矩分級曲線。曲線下的面積代表
<math display="block">\int_{0}^{R} T_c dr</math>
以及
<math display="block">\int_{0}^{R} Q_c dr,</math>
這些是每個葉片單位前進速度動壓下的總推力和總力矩的表達式。這些面積可以透過面積儀求得，當然，必須適當考慮數值的尺度；或者，也可以使用辛普森法則進行近似積分（但具有足夠的準確性）。

在使用辛普森法則時，將半徑分成偶數個相等的部分，例如十個。然後可以從分級曲線上找到每個分割點的縱座標。如果原始的葉元將葉片分成偶數個相等的部分，則無需繪製分級曲線，但曲線的優點在於它們能以圖形方式顯示推力和力矩沿葉片的分佈。它們也為計算提供了校核，因為不正確的點通常無法形成一條平滑的曲線。

如果橫座標用 r 表示，各個分割點的縱座標用 y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, ..., y<sub>11</sub> 表示，根據辛普森法則，有十個相等分割的面積將是
<math display="block">\int_{0}^{R} F(r) \, dr = \frac{\Delta r}{3}[y_1 + 2 (y_3 + y_5 + y_7 + y_9) + 4 (y_2 + y_4 + y_6 + y_8 + y_{10}) + y_{11}].</math>

因此，我們範例中推力分級曲線下的面積為
:<math>\begin{align} \int_{0}^{R} T_cdr & = \frac{0.15}{3}[0+2(0.038+0.600+1.050+1.091)+4(0+0.253+0.863+1.120+0912)+0] \\ & = 0.9075, \end{align}</math>

同理可得
<math display="block">\int_{0}^{R} Q_c \, dr=0.340.</math>

上述積分也已透過面積儀進行，五次試驗的平均結果與使用辛普森法則獲得的結果相差在千分之二點五以內。

在標準空氣中，螺旋槳的推力為

:<math>\begin{align} T & = \frac{1}{2}\rho V^2B\int_{0}^{R} T_cdr \\ & = \frac{1}{2}\times0.002378\times58.65^2\times2\times0.9075 \\ & = 7.42\ \mathrm{lb.}, \end{align}</math>

而力矩為

:<math>\begin{align} Q & = \frac{1}{2}\rho V^2B\int_{0}^{R} Q_cdr \\ & = \frac{1}{2} \times 0.002378\times58.65^2\times2\times0.340 \\ & = 2.78\ \mathrm{lb.ft.} \end{align}</math>

螺旋槳吸收的功率為

:<math>\begin{align} P & = 2\pi nQ \\ & = 2\times\pi\times30\times2.78 \\ & = 524\ \mathrm{ft.lb. /\ sec}. \end{align}</math>

或

:<math>\begin{align} HP & = \frac{524}{550} \\ & = 0.953, \end{align}</math>

而效率為

:<math>\begin{align} \eta & = \frac{TV}{2\pi nQ} \\ & = \frac{7.42\times58.65}{524} \\ & = 0.830. \end{align}</math>

上述計算出的性能與風洞中測量的性能比較如下：

在這種情況下，由簡單葉元理論計算出的功率低了超過11%，推力低了約5%，而效率高了約8%。當然，如果使用來自不同風洞中對同一系列翼型進行測試的螺旋槳剖面特性，將會得到不同的計算性能，但變密度風洞的測試可能是所有測試中最可靠的。

再次參考模型螺旋槳的壓力分佈測試，或可為計算性能與實測性能之間的差異提供一些啟示。在這些測試中，當螺旋槳在風洞中運轉時，測量了螺旋槳葉片數個剖面的壓力分佈，並對相應的翼型進行了以下三組測試：

這三組翼型測試的結果，對於翼尖半徑四分之三處的剖面，顯示在圖10中，該圖取自報告。可以注意到，展弦比為6的翼型中段剖面與特殊螺旋槳葉片翼型的相應剖面，其合力係數 C<sub>R</sub> 相當吻合，但展弦比為6的整個翼型的合力係數則顯著較低。因此，當基於展弦比為6的翼型特性來計算時，螺旋槳的推力和功率自然會偏低。

== 修正理論 ==
為了使簡單葉元理論更完整並提高其準確性，人們提出了許多修正。這些修正理論大多試圖考慮葉片干擾，其中一些還試圖消除因使用來自有限展弦比（如6）機翼測試的翼型數據所造成的不準確性。最早的修正本質上是將簡單的德熱維耶茨基理論與弗勞德動量理論結合起來。

== 圖表 ==
<gallery caption="基於 R.A.F.-6 無限展弦比的標準螺旋槳剖面。">
File:Standard propeller sections BET.png|圖 11.
File:Standard propeller sections 2 BET.png|圖 12.
File:Propeller R.A.F-6.png|圖 13.
File:Propeller RAF-6 12345.png|圖 14.
</gallery>署名

== 參見 ==
*環量 (流體動力學)
*計算流體力學

== 外部連結 ==
* Blade Element Analysis for Propellers (螺旋槳的葉元分析)
* Helicopter Theory - Blade Element Theory in Forward Flight from Aerospaceweb.org (直升機理論 - Aerospaceweb.org 上的前飛葉元理論)
* Blade element theory (葉元理論)
* Stefan Drzewiecki 1903
* QBlade: Open Source Blade Element Method Software from H.F.I. TU Berlin (QBlade：柏林工業大學 H.F.I. 的開源葉元法軟體)
* NASA-TM-102219: A survey of nonuniform inflow models for rotorcraft flight dynamics and control applications,  by Robert Chen, NASA (NASA-TM-102219：NASA Robert Chen 撰寫的關於旋翼機飛行動力學與控制應用的非均勻流入模型綜述)

== 參考資料 ==

[[分類: 待校正]]